Po raz pierwszy na arenie międzynarodowej Richard Jouve pojawił się 3 grudnia 2011 roku w Bessans, gdzie w zawodach juniorskich zajął 27. miejsce w biegu na 10 km techniką klasyczną. W 2013 roku wystąpił na mistrzostwach świata juniorów w Libercu, gdzie zajął 40. miejsce w sprincie klasykiem. Podczas rozgrywanych rok później mistrzostw świata juniorów w Val di Fiemme wspólnie z kolegami z reprezentacji wywalczył srebrny w sztafecie. Na tej samej imprezie był też między innymi dwunasty w sprincie stylem dowolnym i szesnasty na dystansie 10 km stylem klasycznym. W 2015 roku wystąpił na mistrzostwach świata młodzieżowców w Ałmaty, gdzie był czwarty w sprincie stylem klasycznym, a biegu łączonego nie ukończył
W zawodach Pucharu Świata zadebiutował 17 stycznia 2015 roku w Otepää, zajmując 49. miejsce w sprincie klasykiem. Pierwsze pucharowe punkty wywalczył niecały miesiąc później w Östersund, gdzie w tej samej konkurencji był dziewiętnasty. Już 8 marca 2015 roku w Lahti po raz pierwszy stanął na podium zawodów tego cyklu, zajmując trzecie miejsce w sprincie stylem dowolnym. W zawodach tych wyprzedzili go tylko dwaj Norwegowie: Eirik Brandsdal oraz Sindre Bjørnestad Skar. W sezonie 2015/2016 zajął trzecie miejsce w klasyfikacji U-23.
Wspólnie z Manificatem wywalczył brązowy medal w sprincie drużynowym stylem dowolnym podczas igrzysk olimpijskich w Pjongczangu w 2018 roku. Zajął tam także 16. miejsce w sprincie techniką klasyczną. Na rozgrywanych cztery lata później igrzyskach w Pekinie Jouve, Manificat, Parisse i Hugo Lapalus zajęli trzecie miejsce w sztafecie. Był tam też siódmy w sprincie stylem dowolnym i sprincie drużynowym stylem klasycznym.