Kronecker-delta

Det matematiske symbolet Kronecker-delta $\delta _{ij}$, som vart innført av Leopold Kronecker, er ein funksjon i to variablar. Det vert òg kalla Kronecker-symbol og delta-funksjon vert og nytta.

Definisjon

Kronecker-delta vert definert som:

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{for }}i=j\\0&{\mbox{for }}i\neq j\end{matrix}}\right.$

der i og j er element i ei mengde $I$.

Eigenskapar

• Kronecker-delta vert ofte skiven som

$\delta =\mathrm {1} _{D}:I\times I\to \{0,1\}$,

når den står for den karakteristiske funksjonen $\mathrm {1} _{D}$ i ei diagonalmengd.

$D=\{(i,j)\in I\times I:\;i=j\}$.

Døme på bruk

• Innan lineær algebra vert symbolet nytta for å uttrykka einheitsmatrisa $n\times n$ som $(\delta _{ij})_{1\leq i,j\leq n}$. Til dømes kan ei 3x3 einheitsmatrise uttrykkast som:

$(\delta _{ij})_{1\leq i\leq 3,\,1\leq j\leq 3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$.

• Kronecker-delta kan nytta for å uttrykka skalarproduktet av to orthonormale vektorar:

$e_{1},\dots ,e_{n}$ als $\langle e_{i},e_{j}\rangle =\delta _{ij}$.

• Innan digital signalhandsaming og reguleringsteknikk vert symbolet nytta for å representera ein impuls:

$\delta (n)={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}$

Sjå òg

• Levi-Civita-symbol.