Lineær algebra

Lineær algebra er den delen av matematikken som omhandlar vektorar og vektorrom, og dessutan lineære transformasjonar. Fagfeltet inngår som ein del av algebra og er grunnleggjande for all moderne matematikk.

Lineære transformasjonar kan ofte representerast ved matriser, og studiet av eigenskapane til matriser er sentralt i lineær algebra. Òg teori for lineære likningar er inkludert i fagfeltet.

Sentrale omgrep

Algebra er ei grein av matematikk som generaliserer talrekning ved å la bokstavar eller andre symbol representere tal. Lineær algebra er igjen ein del av algebra der ein studerer lineære operasjonar mellom storleikar. Sentrale omgrep i lineær algebra er vektorrom og transformasjonar mellom slike rom.

Vektorrom

Eit vektorrom V er ei mengd av element, kalla vektorar, der det er definert to operasjonar, vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon. Vektoraddisjonen er ein regel som til kvart par av element x og y i V tilordner eit nytt element (x+y) som òg er ein del av V. Tilsvarande er skalarmultiplikasjon ein regel som for kvar skalar a og kvart element x i V tilordnar eit nytt element (ax) i V.

Operasjonane i eit vektorrom er lineære, og samansette element som (ax+by) vert kalla lineærkombinasjonar.

Alle vektorane i eit vektorrom kan uttrykkjast som ein lineærkombinasjon av vektorane i ein algebraisk basis for vektorrommet. Dimensjonen til vektorrommet er lik mengder vektorar i basisen, og denne dimensjonen kan vere både endeleg og uendeleg.

Ein vektor i eit endelegdimensjonalt rom kan uttrykkjast ved hjelp av ein koordinatvektor (a₁, a₂,...,a_n) der a_i er reelle eller komplekse tal.

Lineære transformasjonar

Ein lineær transformasjon er ein funksjon mellom to vektorrom som vernar operasjonane vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon. Òg omgrepa lineær avbilding, lineær funksjon, lineær mapping og lineær operator blir brukt.

Ein funksjonen er ein lineær transformasjon viss det for alle vektorar x og y i V og alle skalarar a i K gjeld at

${\begin{alignedat}{3}T(x+y)&=T(x)+T(y)\\T(ax)&=aT(x)\end{alignedat}}.$

Parentesen rundt argumentet til funksjonen blir ofte utelaten, slik at ein skriv T(x) = Tx.

Ein affin transformasjon er ein funksjon samansett av ein ikkje-singulær lineær transformasjon og ein translasjon, det vil si ein funksjon F på forma

$F(x)=T(x)+z\,$

Her er T ein ikkje-singulær lineær transformasjon, og z er ein vektor i vektorrommet som er verdiområdet til T.

Matriser og determinantar

n × m-matrise med element $a_{ij}$

Ei matrise er eit rektangulært sett av tal, ordna i rader og kolonnar. Ein lineær transformasjon mellom to endelegdimensjonale vektorrom kan representerast eintydig ved ei matrise. Når ein studerer eigenskapane til matriser studerer ein dermed òg eigenskapane til ein viktig klasse av lineære transformasjonar. Matriser er òg viktige for å handsame lineære algebraiske likningssystem. Eit slikt system kan skrivast på forma

$Ax=b,\,$

der A er ei matrise og b ein kjend vektor, medan x er ein vektor der komponentane er dei ukjende i likningssystemet. For eit system med like mange likningar som ukjende kan ein formelt skrive løysinga som

$x=A^{-1}b,\,$

Løysinga eksisterer dersom den inverse matrisa A^-1 er definert.

Determinanten til ei kvadratisk matrise er reelt eller komplekst tal bestemt av elementa i matrisa:

$\operatorname {det} \,A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nm}\end{vmatrix}}$

Den inverse matrisa eksisterer viss og berre viss determinanten til matrisa er ulik null.

Eigenverdi og eigenvektor

Ein eigenverdi og ein eigenvektor til ein lineær transformasjon T er samanhøyrande verdiar $\lambda$ og x som oppfyller likninga :$Tx=\lambda x\,$.

Eigenverdien er ein skalar. Ein eigenvektor endrar ikkje retning når han avbildast av transformasjonen. Problemet å avgjere samhøyrande verdi for eigenverdien og eigenvektoren blir kalla å løyse eit eigenverdiproblem.

Eigenverdiar og eigenvektorar speler ei svært viktig rolle i studiet av lineære transformasjonar, blant anna for å kartleggje kva for eigenskapar til transformasjonen som er uavhengig av val av basis i definisjonsområdet og verdimengda til transformasjonen.

Lineære likningar

Lineære likningar er likningar på forma

$Ax+b=0\,$

der A er ein skalar, ei matrise eller ein lineær transformasjon. Den ukjende x er ein vektor i eit vektorrom.

Lineære matriselikningar kan løysast ved hjelp av Cramers regel eller ved Gausseliminasjon.

Lineær algebra og geometri

Lineær algebra er nært knytt til geometri. Mange tidlege matematikarar, inkludert Pythagoras, freista å knyte geometri saman med tal. Dette lét seg først gjere i meir fullstendig form etter introduksjonen av reelle tal, og med utviklinga av analytisk geometri på 1600-talet. Posisjonen til eit objekt i rommet kan skildrast med ein tre-dimensjonal stadvektor. Rotasjon, skalering, refleksjon og projeksjon er alle operasjonar som kan skildrast med lineære transformasjonar.

Affin geometri er studiet av geometriske eigenskapar som er verna under affine transformasjonar. Nytta av affine transformasjonar gjer at òg translasjon - eller parallellforskyving - er inkludert i samlinga av geometriske operasjonar som blir studert.

Numerisk lineær algebra

Numerisk lineær algebra er studiet av algoritmar for å løyse problemstillingar i lineær algebra numerisk. Slike algoritmar er svært viktige for mange berekningar utført på datamaskinar, til dømes i numerisk vêrvarsling.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Lineær algebra» frå Wikipedia på bokmål, den 12. januar 2012.

Bakgrunnsstoff

• Lineær algebra støttesider, Universitetet i Oslo Arkivert 2009-11-11 ved Wayback Machine.
• Elektronic Journal of Linear Algebra Arkivert 2012-01-19 ved Wayback Machine.
• International Linear Algebra Society Arkivert 2014-01-03 ved Wayback Machine.
• A first course in linear algebra Gratis lærebok fra Digital Textbook Initiative.
• Introduction to linear algebra Youtube.