Ćaleta-Car begon zijn carrière in het betaald voetbal bij de club uit zijn geboortestad, HNK Šibenik, in de Kroatische tweede klasse. In 2013 maakte hij de overstap naar het Oostenrijkse FC Pasching. Opnieuw een seizoen later tekende Ćaleta-Car bij Red Bull Salzburg, waar hij voornamelijk actief was bij de amateurclub FC Liefering. Hij speelde zijn eerste wedstrijd voor Salzburg in de UEFA Europa League op 11 december 2014 tegen Astra Giurgiu.
In augustus 2015 werd de Kroaat opgeroepen door trainer Nenad Gračan voor Jong Kroatië voor de eerste kwalificatiewedstrijden tegen Jong Georgië en Jong Estland in september 2015.[1] Verdediger Dejan Lovren raakte geblesseerd bij Liverpool FC in een competitiewedstrijd in september 2015. Hierdoor zal hij de EK-kwalificatiewedstrijden tegen Bulgarije en Malta moeten missen in oktober 2015. Als vervanger werd Jozo Šimunović opgeroepen door bondscoachAnte Čačić voor de A-selectie.[2] Šimunović viel zelf later ook af. Als vervanger werd Ćaleta-Car opgeroepen.[3] Hij maakte ook deel uit van de selectie voor EK 2020, gespeeld in 2021. Hij kwam eenmaal in actie in de groepsfase. In de verloren achtste finale (Spanje, 5-3 na verlenging) kwam hij ook in actie. Op 11 November 2021 maakte hij zijn eerste doelpunt voor Kroatië tijdens de WK-kwalificatie wedstrijd tegen Malta, die werd uiteindelijk gewonnen door Kroatië met 7-1.