Doak genoot zijn jeugdopleiding bij Dalry Rovers, Ayr United FC en Celtic FC. Op 29 januari 2022 maakte hij zijn officiële debuut in het eerste elftal van laatstgenoemde club: in de competitiewedstrijd tegen Dundee United (1-0-winst) liet trainer Ange Postecoglou hem in de 68e minuut invallen.[1] Vier dagen later mocht hij ook kort invallen in de stadsderby tegen Rangers FC, die Celtic met 3-0 won.
In april 2022 tekende de zestienjarige Doak bij Liverpool FC, dat zo'n £600.000 voor hem neertelde.[2]
Doak debuteerde in 2019 als Schots jeugdinternational.[3] Hij hielp Schotland –17 aan kwalificatie voor het EK –17 in 2022, maar miste het eindtoernooi door een blessure.[4]