Прејди на содржината

Златен агол

Од Википедија — слободната енциклопедија
Златниот агол е аголот што го зафаќа помалиот (црвен) лак кога два лака што сочинуваат круг се во златен однос

Во геометријата, златниот агол е помалиот од двата агли создадени со делење на обемот на кругот според златниот пресек, односно на два лака така што односот на должината на помалиот лак со должината на поголемиот е ист со односот на должината на поголемиот лак со целосниот обем на кругот.

Алгебарски, нека a+b е обемот на кругот, поделен на подолг лак со должина a и помал лак со должина b така што:

Тогаш златен агол е аголот што го образува помалиот лак со должина b. Изнесува приближно 137,5077640500378546463487. . . ° OEISA096627 или во радијани 2.39996322972865332. . . OEISA131988 .

Името доаѓа од врската на златниот агол со златниот пресек φ; точната вредност на златниот агол е:

или

каде што еквиваленциите произлегуваат од познатите алгебарски својства на златниот пресек.

Бидејќи неговиот синус и косинус се трансцендентални броеви, златниот агол не може да се конструира со линијар и шестар.[1]

Изведување

[уреди | уреди извор]

Со горедадените услови, златниот пресек е еднаков на φ = a/b.

Нека ƒ е делот од обемот што го определува златниот агол, или еквивалентно, златниот агол поделен со аголната големина на кружницата.

Но бидејќи

следува дека

Ова е еквивалентно со исказот дека φ 2 златните агли можат да се вклопат во круг.

Според тоа, делот од кругот што го зафаќа златниот агол е:

Па златниот агол g може приближно нумерички да се изрази во степени како:

или во радијани како :

Златен агол во природата

[уреди | уреди извор]
Аголот помеѓу последователните цветови кај некои цвеќиња е златен агол.
Анимација која симулира подредување на семките од сончоглед од централен меристем каде што следната семка е ориентирана еден златен агол подалеку од претходната семка.

Златниот агол игра значајна улога во теоријата на филотаксата; на пример, златниот агол е аголот што ги одвојува цветовите на сончогледот.[2] Анализата на моделот покажува дека тој е многу чувствителен на аголот што ги одвојува поединечните примордии, при што аголот на Фибоначи му дава на парастихијата оптимална густина на пакување.[3]

Математичкото моделирање на веродостојниот физички механизам за развој на цветови ја покажа шемата што произлегува спонтано од решението на нелинеарна парцијална диференцијална равенка на рамнина.[4] [5]

  1. Freitas, Pedro J. (2021-01-25). „The Golden Angle is not Constructible“ (англиски). arXiv:2101.10818v1. Bibcode:2021arXiv210110818F. Наводот journal бара |journal= (help)
  2. Jennifer Chu (2011-01-12). „Here comes the sun“. MIT News. Посетено на 2016-04-22.
  3. Ridley, J.N. (February 1982). „Packing efficiency in sunflower heads“. Mathematical Biosciences (англиски). 58 (1): 129–139. doi:10.1016/0025-5564(82)90056-6.
  4. Pennybacker, Matthew; Newell, Alan C. (2013-06-13). „Phyllotaxis, Pushed Pattern-Forming Fronts, and Optimal Packing“ (PDF). Physical Review Letters (англиски). 110 (24): 248104. arXiv:1301.4190. Bibcode:2013PhRvL.110x8104P. doi:10.1103/PhysRevLett.110.248104. ISSN 0031-9007. PMID 25165965.
  5. „Sunflowers and Fibonacci: Models of Efficiency“. ThatsMaths (англиски). 2014-06-05. Посетено на 2020-05-23.

Надворешни врски

[уреди | уреди извор]