Динамичен систем

Фазен дијаграм Лоренцовиот атрактор — популарен пример на нелинеарен динамичен систем. Со проучувањето на слични системи се занимава теоријата на хаосот.

Динамичен систем претставува математичка апстракција предодредена за опишување и проучување на системите кои еволуираат со текот на времето.

Општи информации

Динамичниот систем може да биде претставен во вид на „црна кутија“ со „влезови“ и „излези“: „влезовите“ претставуваат надворешни (на пример, управувачки) дејства на системот, додека „излезите“ — соодветна реакција на системот (негово однесување). Според ова, овој концепт е важен при потрагата по управувачки дејства што го осигуруваат посакуваното однесување на системот.

Динамичниот систем може исто така да биде претставен како систем кој се наоѓа во одредена состојба. Според ова, динамичниот систем ја опишува (во целост) динамиката на некој процес, поточно: процесот на преод на системот од една состојба во друга. Фазниот простор на системот е севкупноста од сите можни (допуштени) состојби на динамичниот систем. На овој начин, динамичниот систем се одликува со својата почетна состојба и законот според кој системот преминува од почетната состојба во друга.

Се разликуваат системи со дискретно време и системи со непрекинато (постојано) време.

Кај системите со дискретно време, кои традиционално се нарекуваат каскади, однесувањето на системот (или, што е исто, траекторијата на системот во фазниот простор) се опишува со последователноста на состојбите. Кај системите со непрекинато време, кои традиционално се нарекуваат потоци, состојбата на системот е определена во секој момент од времето на реалната или комплексната оска. Каскадите и потоците се основен предмет на проучување во симболната и тополошката динамика.

Динамичниот систем (како со дискретно, така и со непрекинато време) по правило се јавува како синоним на автономниот систем на диференцијалните равенки зададен во некоја област, каде ги задоволува условите на теоремите за постоење и единственост на решенијата на диференцијалната равенка. Положбите на рамнотежата на динамичниот систем соодветствуваат на единечните точки на диференцијалната равенка, а затворените фазни криви — на нејзините периодични решенија.

Основната содржина на теоријата на динамичните системи е проучувањето на кривите кои се определени од диференцијалните равенки. Ова го вклучува и разбивањето на фазните простори на траектории и проучувањето на однесувањето на тие траектории во просторот: барање и класификација на рамнотежа, одделување на привлекувачките (атрактори) и оддалечувачките (репелери) множества (или многуобразија). Најважниот поим во теоријата на динамичните системи е стабилноста (способност на системот колку што е можно повеќе да остане околу положбата на рамнотежа или на зададеното многуобразие) и грубоста (запазување на својствата при мали промени на структурата на динамичниот систем).

Со вклучувањето на веројатносно-статистичките претстави во ергодичната теорија на динамичните системи се доаѓа до поимот динамичен систем со инваријантна мерка.

Современата теорија на динамичните системи се јавува како збирно име за проучувањето каде широко се употребуваат и на делотворен начин се комбинираат методите од различните гранки на математиката: топологија и алгебра, алгебарска геометрија и теоријата на мерки, теоријата на диференцијалните форми и теоријата на катастрофите.

Дефинирање

Нека $X$ е произволен тополошки простор.

Динамичен систем, зададен во тополошкото пространство $X$, се нарекува изразот $g\colon R\times X\to X$ од видот $g(t,x)=g^{t}x$ ($t\in R$ и $x\in X$), кој е диференцијален израз, при што $\{g^{t}\}$ образува група на преобразба на тополошкиот простор $X$. Последното означува дека $g^{0}$ е идентитетскиот одраз на просторот $X$ и дека секои $s$, $t\in R$ го исполнуваат идентитетот $g^{t}\circ g^{s}=g^{t+s}$.

Историја

Многу луѓе го сметаат Анри Поенкаре за основачот на динамичните системи. Поенкаре објавил две, денешно-класични монографи, „Нови методи на небесната механика“ (1892–1899) и „Предавања на небесната механика“ (1905–1910). Во нив, тој успешно ги применил резултатите од нивните пребарувања за проблемот на движењето на три тела и во детал им го студирал нивното однесување на решенија (честота, стабилност, асимптотска и така натаму). Овие хартии го опфаќаат Поенкаре теорема за повторување, која гласи дека одредени системи после долго но конечно време, ќе се вратат во состојба блиска на почетната состојба.

Александар Лијапунов развил многу важни приближни методи. Неговите методи, кој ги развил во 1899, овозможуваат да се дефинира стабилноста на групи на обични диференцијални равенки.

Во 1913, Џорџ Давид Бркоф ја докажал Поенкаровата „Последна Геометриска Теорема“, специјален случај на три-тело проблем, резултат којшто го направил него светски познат. Во 1927, тој ги објавил неговите Динамични СистемиНа Брков најтрајниот резултат бил неговото 1931 откритие што сега се вика ергодиг теорема.Комбинирање сознанија од физика на ергодиг хипотеза со мера (математика), оваа теорема е решена, барем во принцип, основен проблем на статистичка механика. Ергодиг теоремата исто така имала последици за динамика.

Стивен Смејл исто така направил значителни напредоци. Неговиот прв придонест е Смејл потковица што започнал значајни истражувања во динамичките системи. Тој исто така истакнал истражувачка програма спроведена од многу други.

Александар Мајколеович Схарковски ја развил Схарковската теорема на периодите од дискретни динамични системи во 1964. Една од импликациите на теоремата е дека ако дискретни динамични систем на вистинска линија има периодична точка на периодот 3, тогаш тоа мора да има периодични точки на секој друг период.