초다양체
초다양체(超多樣體, 영어: supermanifold)는 초대칭을 고려하여 다양체의 개념을 일반화시킨 것이다. 비가환 다양체의 특정한 종류나, 일반적 비가환 공간보다 훨씬 더 정규적이어서, 미분기하학 등을 할 수 있다.
정의
[편집]초공간
[편집]음이 아닌 정수 를 생각하자. (는 보손적 차원의 수, 는 페르미온적 차원의 수다.) 차원의 초공간은 다음과 같은 데이터로 주어진 환 달린 공간이다.
이 층의 단면
은 다음과 같이 “테일러 급수” 전개를 갖는다.
이에 따라, 이는 “가환 좌표” 와 “반가환 좌표” 에 대한 “함수”로 여겨질 수 있다.
이 환 달린 공간을 로 표기하자.
초다양체
[편집]음이 아닌 정수 를 생각하자. (는 보손적 차원의 수, 는 페르미온적 차원의 수다.) 차원의 초다양체는 다양체이자, 국소적으로 와 동형인 환 달린 공간이다.
이는 일반적 매끄러운 다양체의 정의 (국소적으로 와 동형인 환 달린 공간)과 유사하다.
초다양체 위의 미분 형식
[편집]데카르트 좌표계 를 갖는 초공간 위의 미분 형식들의 층은 다음과 같은, 등급 미분 등급 대수의 층이다.
임의의 차원 초다양체 의 미분 형식들의 층은 초공간 위의 미분 형식의 층들을 짜깁기하여 얻어진다.
분류
[편집]이 매끄러운 다양체라고 하고, 가 위의 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면 외대수 의 매끄러운 단면들의 층을 갖춘 은 초다양체를 이룬다. 이를 라고 쓴다. 는 매끄러운 벡터 다발의 범주에서 초다양체의 범주로 가는 함자이다.
배첼러 정리(Batchelor定理, 영어: Batchelor's theorem)에 따르면, 이 함자는 사실상 전사 함자이다. 즉. 모든 초다양체는 의 꼴의 초다양체와 동형이다. 그러나 이는 표준적이지 못하며, 또한, 함자 는 (초다양체의 범주에 동치류를 취하더라도) 범주의 동치를 이루지 않는다. 이는 초다양체의 사상이 벡터 다발 사상과 매우 다르기 때문이다. 구체적으로, 두 매끄러운 벡터 다발 , 이 주어졌을 때, 그 사이의 벡터 다발 사상
은 초다양체의 사상
을 유도하는데, 층 단면의 밂
는 (외대수에서 유도되는) 값의 차수를 보존하지만, 일반적으로 초다양체의 사상은 차수만을 보존한다.
초다양체 사상의 분류
[편집]임의의 두 초다양체 , 에 대하여, 다음이 성립한다.
여기서
즉, 이는 함자
를 정의한다. 또한, 이는 충실충만한 함자이다.
참고 문헌
[편집]- Rogers, Alice (2007년 4월). 《Supermanifolds: theory and applications》 (영어). Singapore: World Scientific. doi:10.1142/1878. ISBN 978-981-02-1228-5.
- Cattaneo, Alberto S.; Florian Schätz (2011년 7월). “Introduction to supergeometry”. 《Reviews in mathematical physics》 (영어) 23 (6): 669. arXiv:1011.3401. Bibcode:2011RvMaP..23..669C. doi:10.1142/S0129055X11004400. ISSN 0129-055X.
- Sardanashvily, G. (2009). “Lectures on supergeometry” (영어). arXiv:0910.0092. Bibcode:2009arXiv0910.0092S.
- Witten, Edward (2012). “Notes on supermanifolds and integration” (영어). arXiv:1209.2199. Bibcode:2012arXiv1209.2199W.
- Witten, Edward (2012). “Notes on super Riemann surfaces and their moduli” (영어). arXiv:1209.2459. Bibcode:2012arXiv1209.2459W.
- Hohnhold, Henning; Stefan Stolz, Peter Teichner (2011). “Super manifolds: An incomplete survey”. 《Bulletin of the Manifold Atlas》 (영어) 2011: 1–6. 2012년 9월 10일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 1월 7일에 확인함.
- Carmeli, Claudio (2006). 《Super Lie groups: structure and representations》 (PDF) (영어). 박사 학위 논문. Università degli Studi di Genova. 2011년 8월 6일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 6월 6일에 확인함.
외부 링크
[편집]- “Supermanifold”. 《nLab》 (영어).
- “Supergeometry”. 《nLab》 (영어).
- “Signs in supergeometry”. 《nLab》 (영어).
- “Differential form on a supermanifold”. 《nLab》 (영어).
- “Integration over supermanifolds”. 《nLab》 (영어).
- “Superpoint”. 《nLab》 (영어).
- “Super spacetime”. 《nLab》 (영어).
- “Super Cartesian space”. 《nLab》 (영어).
- “Super Minkowski spacetime”. 《nLab》 (영어).
- “Complex supermanifold”. 《nLab》 (영어).