유니터리 군

수학에서 유니터리 군(영어: unitary group)은 유니터리 행렬의 리 군이다. 기호는 $U(n)$ .

정의

복소수 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$ 가 주어졌을 때, 유니터리 군 $\operatorname {U} ({\mathcal {H}})$ 는 ${\mathcal {H}}$ 위의 유니터리 작용소들의 군이다.

만약 ${\mathcal {H}}$ 가 $n$ 차원 힐베르트 공간일 경우, 그 위의 유니터리 군은 $\operatorname {U} (n)$ 으로 쓴다. 이 경우, 유니터리 군은 $n\times n$ 유니터리 행렬로 구성되는 리 군이다. 즉,

\operatorname {U} (n)=\{M\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )|M^{\dagger }M=1\}

이다.

유니터리 군 $U(n)$ 은 $2n^{2}$ 차원 실수 리 군이다. 그 리 대수는

{\mathfrak {u}}(n)={\mathfrak {su}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)

이다. 유니터리 행렬의 로그는 반에르미트 행렬(anti-Hermitian matrix)이므로, ${\mathfrak {u}}(n)$ 는 반에르미트 행렬로 이루어져 있다.

유니터리 군 $\operatorname {U} (n)$ 의 중심은 다음과 같은 꼴의 대각 행렬이다.

\lambda 1_{n\times n}\qquad (\lambda \in \mathbb {C} ,\;|\lambda |=1)

유니터리 행렬의 행렬식은 그 절댓값이 1인 복소수이다. 즉

\det \colon U(n)\to U(1)

인 군 준동형이 존재한다. 이에 대한 몫군은 특수 유니터리 군 $SU(n)$ 이다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

1\to SU(n)\hookrightarrow U(n){\xrightarrow {\det }}U(1)\to 1

유니터리 군의 극대 원환면은 다음과 같다.

\{\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})\colon \lambda _{i}\in \operatorname {U} (1)\}\subset \operatorname {U} (n)

이에 대하여 유니터리 군의 바일 군은 대칭군 $\operatorname {Sym} (n)$ 이며, 이는 원환면을 정의하는 기저 집합에 순열로 작용한다.

모든 양의 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ 에 대하여, 유니터리 군 $\operatorname {U} (n)$ 은 연결 실수 콤팩트 리 군이며, 그 기본군은 무한 순환군이다.

\pi _{0}(\operatorname {U} (n))=1

\pi _{1}(\operatorname {U} (n))=\mathbb {Z}

유한 차원 유니터리 군은 같은 차원의 복소수 일반선형군과 호모토피 동치이다.

\operatorname {U} (n)\simeq \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )

\operatorname {U} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n+1)\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2n+1}

로 인하여, 만약 $i<2n$ 이라면

\pi _{i}(\operatorname {U} (n))\cong \pi _{i}(\operatorname {U} (n+1))

이다.^[1]^:112 즉, 유니터리 군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.^[1]^:113

\pi _{i}(\operatorname {U} (n))={\begin{cases}0&2\mid i\\\mathbb {Z} &2\nmid i\end{cases}}\qquad (i<2n)

이 주기성을 보트 주기성(영어: Bott periodicity)이라고 한다.

불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.

이에 따라, 다음과 같은 무한 유니터리 군 $\operatorname {U} (\infty )$ 을 범주론적 쌍대극한으로 정의할 수 있다.

\operatorname {U} (\infty )=\varinjlim _{n}\operatorname {U} (n)

무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.

\pi _{i}(\operatorname {U} (\infty ))={\begin{cases}0&2\mid i\\\mathbb {Z} &2\nmid i\end{cases}}

이에 따라, 무한 유니터리 군은 스스로의 2차 고리 공간과 호모토피 동치이다.^[1]^{:112, Theorem 1}

\operatorname {U} (\infty )\simeq \Omega ^{2}\operatorname {U} (\infty )

무한 차원 분해 가능 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$ 의 유니터리 군 $\operatorname {U} ({\mathcal {H}})$ 는 $\operatorname {U} (\infty )$ 와 다르다. 작용소 노름에 의한 위상을 주었을 때, $\operatorname {U} ({\mathcal {H}})$ 는 축약 가능 공간이며, 따라서 모든 호모토피 군이 자명하다.^[2]

\pi _{i}(\operatorname {U} ({\mathcal {H}}))=0\quad \forall i

유니터리 군 U(1)은 원군이다. 이는 1차원 콤팩트 아벨 군이며, SO(2)와 같다. 이는 위상수학적으로 원 $\mathbb {S} ^{1}$ 이다.

“Unitary group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Unitary group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Unitary group”. 《nLab》 (영어).
“Kuiper's theorem”. 《nLab》 (영어).