대각 행렬

선형대수학에서 대각 행렬(對角行列, 영어: diagonal matrix)은 주대각선 성분이 아닌 모든 성분이 0인 정사각 행렬이다.^[1]^[2]^[3]^:100

정의

환 $R$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $D\in \operatorname {Mat} (n;R)$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 행렬을 대각 행렬이라고 한다.

각 $i$ 번째 대각 성분이 $d_{i}\in R$ 인 대각 행렬은 다음과 같이 표기할 수 있다.

\operatorname {diag} (d_{1},\dots ,d_{n})={\begin{pmatrix}d_{1}\\&d_{2}\\&&\ddots \\&&&d_{n}\end{pmatrix}}

마찬가지로, 임의의 크기 $m\times n$ 의 대각 행렬을 정의할 수 있으며, 이 경우 다음과 같은 표기를 사용할 수 있다.^[1]^{:18, §1.2.6}

\operatorname {diag} _{m\times n}(d_{1},\dots ,d_{\min\{m,n\}})

환 $R$ 위의 모든 대각 행렬 $D\in \operatorname {Mat} (n;R)$ 는 대칭 행렬이자 반대칭 행렬이다.

표수가 2가 아닌 환 $R$ 위의 정사각 행렬 $D\in \operatorname {Mat} (n;R)$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

(표수 2의 환 위에서는 대칭 행렬과 반대칭 행렬이 동치이며, 이는 일반적으로 대각 행렬과 동치가 아니다.)

체 $K$ 위의 대각 행렬 $D\in \operatorname {Mat} (n;K)$ 의 고윳값은 대각 성분들이다. 각 고윳값의 기하적 중복도는 대수적 중복도와 일치하며, 이는 단순히 대각 성분이 나타난 횟수이다.

환 $R$ 위의 모든 대각 행렬 $D\in \operatorname {Mat} (n;R)$ 는 자명하게 대각화 가능 행렬이다.

체 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \operatorname {Mat} (n;K)$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

실수 정사각 행렬 $M\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[2]^{:315, §8.5}

$M$ 은 직교 대각화 가능 행렬이다. 즉, $Q^{-1}MQ$ 가 대각 행렬이 되는 실수 직교 행렬 $Q\in \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )$ 가 존재한다.
$M$ 은 대칭 행렬이다.

복소수 정사각 행렬 $M\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[2]^{:311–317, §8.5}

$M$ 은 유니터리 대각화 가능 행렬이다. 즉, $U^{-1}MU$ 가 대각 행렬이 되는 유니터리 행렬 $U\in \operatorname {U} (n)$ 이 존재한다.
$M$ 은 정규 행렬이다.

복소수 정사각 행렬 $D\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.^[2]^{:315–316, §8.5, Theorem 20}

특히, 대각 행렬이 아닌 복소수 상·하삼각 행렬은 유니터리 대각화 가능하지 않다.

모든 스칼라 행렬은 대각 행렬이다. 특히, 단위 행렬과 영행렬은 대각 행렬이다.

다음 실수 $4\times 4$ 정사각 행렬은 대각 행렬이다.

{\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&5&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}

다음 실수 $5\times 3$ 행렬은 대각 행렬이다.

{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&6\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}

다음 실수 $2\times 4$ 행렬은 대각 행렬이다.

{\begin{pmatrix}9&0&0&0\\0&5&0&0\end{pmatrix}}

↑ ^가 ^나 Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013). 《Matrix computations》. Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences (영어) 4판. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-1-4214-0794-4. LCCN 2012943449. MR 3024913. Zbl 1268.65037.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.
↑ Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8.

“Diagonal matrix”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Diagonal matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.