부분파 방법

물리학에서 부분파 방법(部分波方法, method of partial waves)은 산란 문제를 구면 조화 함수에 대한 성분인 부분파(部分波, partial wave)로 분해하여 푸는 방법이다.

전개

파수 $k={\sqrt {2mE}}/\hbar$를 가지고 $z$방향으로 움직이는 입사 평면파 파동 함수 $\langle \mathbf {r} |\phi \rangle =\exp(\mathrm {i} kz)$가 원점 근처에 국한된 구면 대칭 퍼텐셜 $V(r)$에 의하여 $|\psi \rangle$으로 산란된다고 하자.

$(H_{0}+V)|\psi \rangle =E|\psi \rangle$.

퍼텐셜은 원점 근처에 국한되어 있으므로, 원점에서 멀리 떨어진 곳에서는 파동 함수는 진공 슈뢰딩거 방정식

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (r,\theta ,\phi )=0$

을 따른다. 구면좌표계에서 진공 슈뢰딩거 방정식의 일반적인 해는 다음과 같은 구면 베셀 함수 $j_{l}(x)$, $y_{l}(x)$와 구면 조화 함수 $Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$의 곱들의 선형결합이다.

$\psi (r,\theta ,\phi )=\sum _{l,m}B_{l}^{m}j_{l}(kr)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )+C_{l}^{m}ki^{l+1}\left(j_{l}(kr)+iy_{l}(kr)\right)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$.

여기서 $B_{l}^{m}$과 $C_{l}^{m}$은 미지의 계수이다.

레일리 공식(Rayleigh formula)에 따라

$\phi (r,\theta ,\phi )=\exp(ikr\cos \theta )=\sum _{l,m}i^{l}{\sqrt {4\pi (2l+1)}}j_{l}(kr)Y_{l}^{0}(\theta ,\phi )$

이고,

$ki^{l+1}\left(j_{l}(kr)+iy_{l}(kr)\right)\approx \exp(ikr)/r$ ($kr\gg 1$)

은 산란된 구면파를 나타내므로, 평면파의 산란을 나타내기 위해서는 다음과 같은 경계 조건을 부여하여야 한다.

$B_{l}^{m}={\sqrt {4\pi (2l+1)}}\delta _{m0}$.

따라서

$\psi (r,\theta ,\phi )=\sum _{l,m}{\sqrt {4\pi (2l+1)}}\delta _{m0}j_{l}(kr)Y_{l}^{0}(\theta ,\phi )+C_{l}^{m}ki^{l+1}\left(j_{l}(kr)+iy_{l}(kr)\right)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$

이다. 여기서 각각의 $C_{l}^{m}i^{l+1}\left(j_{l}(kr)+iy_{l}(kr)\right)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$ 성분을 부분파라고 하고, $C_{l}^{m}$을 부분파 산란 진폭이라고 한다.

부분파 방법은 퍼텐셜 근처에서의 슈뢰딩거 방정식을 위와 같은 가설 풀이를 대입하여 푸는 것이다. 이렇게 하여 부분파 산란 진폭 $C_{l}^{m}$을 구하면 그 총 산란 진폭 $f(\theta ,\phi )$는

$f(\theta ,\phi )=\sum _{l,m}C_{l}^{m}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$

와 같이 주어진다. 이로부터 총 산란 단면적 $\sigma$와 미분 단면적 $d\sigma /d\Omega$를 다음과 같이 구할 수 있다.

$\sigma =\oint |f|^{2}\,d\Omega =\sum _{l,m}|C_{l}^{m}|^{2}$

${\frac {d\sigma (\theta ,\phi )}{d\Omega }}=\sum _{l',m'}\sum _{l,m}C_{l}^{m}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )(C_{l'}^{m'}Y_{l'}^{m'}(\theta ,\phi ))^{*}$.

낮은 에너지에서의 근사

퍼텐셜의 "크기"가 대략 $a$라고 하자. 즉, $V(r)$가 대략 다음과 같은 꼴이다.

$V(r)\approx {\begin{cases}0&r>a\\\infty &r<a.\end{cases}}$

이런 경우에는 $\psi (r=a,\theta ,\phi )\approx 0$이므로, 다음과 같은 경계 조건을 부여한다.

$0\approx \sum _{l,m}{\sqrt {4\pi (2l+1)}}\delta _{m0}j_{l}(ka)Y_{l}^{0}(\theta ,\phi )+C_{l}^{m}ki^{l+1}\left(j_{l}(ka)+iy_{l}(ka)\right)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$.

이에 따라

$C_{l}^{m}\approx -{\frac {{\sqrt {4\pi (2l+1)}}\delta _{m0}j_{l}(ka)}{ki^{l+1}\left(j_{l}(ka)+iy_{l}(ka)\right)}}$

이다.

이제, 입사 파동 함수의 에너지 $E=\hbar ^{2}k^{2}/2m$가 퍼텐셜의 크기에 비하여 아주 작다고 하자. 즉,

$ka\ll 1$

$E\ll {\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}$

라고 하자. 그렇다면

$j_{l}(x)\propto x^{l}$ ($x\ll 1$)

$y_{l}(x)\propto x^{-l-1}$ ($x\ll 1$)

이므로,

$C_{l}^{m}\propto a(ka)^{2l}$

이다. 따라서 $ka\ll 1$이므로 $l=0$인 항이 다른 항보다 매우 크다. 즉, 매우 작은 에너지에서는 $l,m=0$인 부분파만 고려하면 된다.

위상 변화

위에서 정의한 부분파 진폭 $C_{m}^{l}$은 일반적으로 다음과 같은 꼴을 가진다.

$C_{m}^{l}={\sqrt {4\pi }}\exp(i\delta _{m}^{l})\sin \delta _{m}^{l}$.

여기서 $\delta _{m}^{l}$을 $(l,m)$ 부분파의 위상 변화(phase shift)라고 한다.

같이 보기

• 베셀 함수
• 헬름홀츠 방정식
• 운죌트의 정리

참고 문헌

• Jun John Sakurai, Jim J. Napolitano (2011). 《Modern Quantum Mechanics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0805382917. 
• Griffiths, David J. (2005). 《Introduction to Quantum Mechanics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0131118927. 
• Peters, Klaus (2006). “A primer on partial wave analysis”. 《International Journal of Modern Physics A》 21 (27): 5618. arXiv:hep-ph/0412069. doi:10.1142/S0217751X06034811.