라돈 측도

측도론에서 라돈 측도(Radon測度, 영어: Radon measure)는 위상 공간의 구조와 특별히 잘 호환되는, 보렐 시그마 대수 위에 정의되는 측도이다. 국소 콤팩트 공간 위의 라돈 측도는 함수 공간 위의 범함수로 나타낼 수 있다.

정의

정칙 측도

하우스도르프 공간 $X$ 위의 시그마 대수 $\Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 위의 측도 $\mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]$가 주어졌다고 하자. $X$의 콤팩트 집합들의 집합족을 $\operatorname {Compact} (X)\subseteq \operatorname {Pow} (X)$로, 열린집합들의 집합족을 $\operatorname {Open} (X)\subseteq \operatorname {Pow} (X)$로 표기하자.

가측 집합 $S\in \Sigma$가 다음 조건을 만족시킨다면, $\mu$-내부 정칙 가측 집합(영어: $\mu$-inner regular measurable set)이라고 한다.

$\mu (S)=\sup _{K\in \operatorname {Compact} (X)\cap \Sigma }^{K\subseteq S}\mu (K)$

가측 집합 $S\in \Sigma$가 다음 조건을 만족시킨다면, $\mu$-외부 정칙 가측 집합(영어: $\mu$-outer regular measurable set)이라고 한다.

$\mu (S)=\inf _{U\in \operatorname {Open} (X)\cap \Sigma }^{U\supseteq S}\mu (U)$

만약 모든 가측 집합이 $\mu$-내부 정칙 가측 집합이라면, $\mu$를 내부 정칙 측도(영어: inner-regular measure)라고 한다. 만약 모든 가측 집합이 $\mu$-외부 정칙 가측 집합이라면, $\mu$를 외부 정칙 측도(영어: outer-regular measure)라고 한다.

라돈 측도

$X$가 하우스도르프 공간이라고 하자. 보렐 시그마 대수 ${\mathcal {B}}(X)$ 위의 측도 $\mu$가 다음을 만족시키면 라돈 측도라고 한다.

• (내부 정칙성) 내부 정칙 측도이다. 즉, 모든 보렐 집합은 $\mu$-내부 정칙 집합이다.
• (국소 유한성) 모든 점 $x\in X$에 대하여, $\mu (U_{x})<\infty$인 열린 근방 $U_{x}\ni x$가 존재한다.

성질

$X$가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 임의의 콤팩트 집합 $K$에 대하여, $K$를 지지집합으로 하는 실수값 연속 함수들의 집합 ${\mathcal {C}}_{K}(X;\mathbb {R} )$은 노름

$\|f\|=\max _{x\in K}|f(x)|$

에 따라서 바나흐 공간을 이룬다. $X$ 위의, 콤팩트 지지집합을 갖는 실수값 연속 함수의 집합 ${\mathcal {C}}_{\text{comp}}(X;\mathbb {R} )$을 생각하자. 그렇다면

${\mathcal {C}}_{\text{comp}}(X;\mathbb {R} )=\bigcup _{K{\text{ compact}}}{\mathcal {C}}_{K}(X;\mathbb {R} )$

이므로, ${\mathcal {C}}_{\text{comp}}(X;\mathbb {R} )$는 국소 볼록 공간의 구조를 가진다.

어떤 실수값 함수 공간 $V\subseteq \mathbb {R} ^{X}$위의 범함수 $\phi \colon V\to \mathbb {R}$에 대하여, 만약 $f(x)\geq 0\forall x\in X$인 $f\in V$에 대하여 $\phi (f)\geq 0$이라면, $\phi$를 음이 아닌 범함수(영어: nonnegative functional)라고 하자. 그렇다면 $X$ 위의 라돈 측도들의 집합과 ${\mathcal {C}}_{K}(X;\mathbb {R} )$ 위의 음이 아닌 연속 범함수들의 집합 사이에는 자연스러운 일대일 대응이 존재한다. 구체적으로, 라돈 측도 $\mu$에 대하여,

$f\in {\mathcal {C}}_{\text{comp}}(X;\mathbb {R} )\mapsto \int _{X}f\,d\mu$

는 음이 아닌 범함수이다.

예

보렐 시그마 대수에 국한시킨 르베그 측도는 유클리드 공간 위의 라돈 측도이다.

임의의 하우스도르프 공간 $X$ 및 점 $x\in X$에 대하여, $X$의 보렐 시그마 대수 위에 디랙 측도 $\delta _{x}$를 다음과 같이 정의하자.

$\delta _{x}(B)={\begin{cases}1&x\in B\\0&x\not \in B\end{cases}}\qquad \forall B\in {\mathcal {B}}(X)$

그렇다면 이는 라돈 측도이다.

유클리드 공간 위의, 보렐 시그마 대수에 국한시킨 셈측도는 라돈 측도가 아니다.

역사

요한 라돈의 이름을 땄다.

외부 링크

• “Radon measure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Regular Borel measure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.