가측 공간

측도론에서, 가측 공간(可測空間, 영어: measurable space)은 가측 집합(可測集合, 영어: measurable set)이라는 특별한 부분 집합들의 족이 부여된 집합이다. 가측 집합들은 가산 합집합 · 가산 교집합 · 여집합에 대하여 닫혀 있다. 측도론에서는 모든 집합들에 적절한 측도를 부여하는 것이 불가능하므로 흔히 사용되는 특정 집합들을 골라야 하며, 가측 공간의 개념은 이러한 선택을 공리화하여 얻는다. 두 가측 공간 사이의 자연스러운 사상은 가측 함수라고 한다.

정의

임의의 집합 $X$ 에 대하여, 그 멱집합 ${\mathcal {P}}(X)$ 는 완비 불 대수이며, 특히 시그마 대수이다.

가측 공간 $(X,\Sigma )$ 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

$X$ 는 집합이다.
$\Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)$ $\Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 는 시그마 대수 ${\mathcal {P}}(X)$ ${\mathcal {P}}(X)$ 의 부분 시그마 대수이다. 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
- (여집합에 대한 닫힘) 모든 $S\in \Sigma$ 에 대하여, $X\setminus S\in \Sigma$ 이다.
- (가산 합집합에 대한 닫힘) 가산 부분 집합 ${\mathcal {S}}\subseteq \Sigma$ ( $|{\mathcal {S}}|\leq \aleph _{0}$ )에 대하여, $\textstyle \bigcup {\mathcal {S}}\in \Sigma$ 이다. (특히, 만약 ${\mathcal {S}}=\varnothing$ 일 경우 $\textstyle \bigcup \varnothing =\varnothing \in \Sigma$ 이다.)

$\Sigma$ 의 원소를 $X$ 의 가측 집합이라고 한다.

가측 공간들과 가측 함수들은 구체적 범주 $\operatorname {Measble}$ 를 이룬다.

분리 가측 공간

가측 공간 $(X,\Sigma )$ 가 다음 조건을 만족시킨다면 분리 가측 공간(分離可測空間, 영어: separated measurable space)이라고 한다.

$f\colon X\to {\mathcal {P}}(\Sigma )$ , $f\colon x\mapsto \{S\in \Sigma \colon x\in S\}$ 는 단사 함수이다. 즉, 임의의 두 점 $x,y\in X$ 에 대하여, 만약 $x\neq y$ 라면, $x\in S\not \ni y$ 인 $S\in \Sigma$ 가 존재한다.

성질

임의의 가측 공간 $X$ 에서, 공집합 $\varnothing$ 과 전체 집합 $X$ 은 항상 가측 집합이다.

연산에 대한 닫힘

집합 $X$ 위의 1개 이상의 (유한 또는 무한 개의) 임의의 가측 공간 구조들 $\{\Sigma _{i}\}$ 이 주어졌을 때, 그 교집합

\bigcap _{i\in I}\Sigma _{i}

역시 $X$ 위의 가측 공간 구조이다.^[1]^{:Exercise 1.4.13} (그러나 이는 합집합에 대하여 성립하지 않는다.)

따라서, 임의의 집합족 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 에 대해, ${\mathcal {F}}$ 의 원소들을 가측 집합으로 하는 가장 엉성한 가측 공간 구조가 존재한다.^[1]^{:Definition 1.4.14} 구체적으로, 이는 ${\mathcal {F}}$ 를 포함하는 가측 공간 구조들의 교집합이다. 이를 $\sigma ({\mathcal {F}})$ 로 표기하자.

따라서, 주어진 집합 $X$ 위의 가측 공간 구조들의 족은 완비 격자를 이룬다.

크기

가측 공간 $(X,\Sigma )$ 의 가측 집합의 수는 항상 $2^{n}$ 꼴의 양의 정수이거나, 아니면 $2^{\aleph _{0}}$ 이상이다. 특히, 가측 공간은 가산 무한 개의 가측 집합을 가질 수 없다.^[2]

증명:

$(X,\Sigma )$ 가 무한 개의 가측 집합들을 갖는 가측 공간이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 집합렬을 재귀적으로 고른다.

$X\setminus (S_{0}\cup \cdots \cup S_{i})$ 가 무한 개의 가측 부분 집합들을 갖는다고 가정한다.
$X\setminus (S_{0}\cup \cdots \cup S_{i})$ 에서, 공집합이나 전체 집합이 아닌 임의의 가측 부분 집합 $\varnothing \neq E_{i+1}\subsetneq X\setminus (S_{0}\cup \cdots \cup S_{i})$ 을 고른다.
$X\setminus (S_{0}\cup \cdots \cup S_{i})$ 는 무한 개의 가측 부분 집합들을 가지므로, $\{S\in \Sigma \colon S\subseteq E_{i+1}\}$ 또는 $\{S\in \Sigma \colon S\subseteq X\setminus (S_{0}\cup \cdots \cup S_{i}\cup E_{i+1})\}$ 가운데 적어도 하나가 무한 집합이며, 다음과 같이 정의한다면 $X\setminus (S_{0}\cup \cdots \cup S_{i+1})$ 역시 무한 개의 가측 부분 집합들을 갖는다.
$S_{i+1}={\begin{cases}E_{i+1}&|\{S\in \Sigma \colon S\subseteq E_{i+1}\}|<\aleph _{0}\\X\setminus (S_{0}\cap \cdots \cup S_{i}\cup E_{i+1})&|\{S\in \Sigma \colon S\subseteq E_{i+1}\}|\geq \aleph _{0}\end{cases}}$

따라서, $S_{0},S_{1},\dots \in \Sigma$ 는 가산 무한 개의 서로소 가측 집합들을 이루며,

\left\{\bigcup _{i\in I}S_{i}\colon I\subseteq \mathbb {N} \right\}\subseteq \Sigma

는 크기 $2^{\aleph _{0}}$ 의, $\Sigma$ 의 부분 집합을 이룬다. 따라서 $|\Sigma |\geq 2^{\aleph _{0}}$ 이다.

집합 $X$ 의 집합족 ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 에 대하여, ${\mathcal {A}}$ 로부터 생성되는 가측 공간 구조 $\sigma ({\mathcal {A}})$ 의 크기의 상계는 다음과 같다.^[1]^{:Exercise 1.4.16}

|\sigma ({\mathcal {A}})|\leq |{\mathcal {A}}|^{\aleph _{0}}

이는 $\sigma ({\mathcal {A}})$ 를 초한 귀납법으로 구성할 때 $\omega _{1}$ 번의 단계로 끝나기 때문이다. (여기서 $\omega _{1}$ 은 최소의 비가산 순서수이다.)

딘킨 π-λ 정리와 단조류 정리

집합 $X$ 속의 집합족 ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 에 대하여 다음 조건들을 정의하자.

(π) ${\mathcal {A}}$ 는 2항 교집합에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 $A,B\in {\mathcal {A}}$ 에 대하여, $A\cap B\in {\mathcal {A}}$ 이다. 이를 만족시키는 집합족을 π계(영어: π-system)라고 한다.
(λ) ${\mathcal {A}}$ 는 여집합에 대하여 닫혀 있으며, 가산 개의 서로소 집합들의 합집합에 대하여 닫혀 있다. (특히, 0개의 서로소 집합들의 합집합은 공집합이므로, $\varnothing \in {\mathcal {A}}$ 이다.) 이를 만족시키는 집합족을 λ계(영어: λ-system)라고 한다.
(π′) ${\mathcal {P}}(X)$ 의 부분 불 대수를 이룬다. 즉, 여집합 · 유한 교집합 · 유한 합집합에 대하여 닫혀 있으며, $\varnothing \in {\mathcal {A}}$ 이다. 이를 만족시키는 집합족을 집합체(영어: field of sets)라고 한다.
(λ′) $X\in {\mathcal {A}}$ 이며, 임의의 $A_{0},A_{1},\dots \in {\mathcal {A}}$ 에 대하여, $A_{0}\subseteq A_{1}\subseteq \cdots$ 라면, $\textstyle \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A}}$ 이며, 임의의 $A_{0},A_{1},\dots \in {\mathcal {A}}$ 에 대하여, $A_{0}\supseteq {\mathcal {A}}_{1}\supseteq \cdots$ 라면, $\textstyle \bigcap _{i=0}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A}}$ 이다. 이를 만족시키는 집합족을 단조류(영어: monotone class)라고 한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

집합 $X$ 속의 집합족 ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

시그마 대수이다.
(π) 조건과 (λ) 조건을 만족시킨다.
(π′) 조건과 (λ′) 조건을 만족시킨다.

집합 $X$ 속의 집합족 ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

(딘킨 π-λ 정리 영어: Dynkin π–λ theorem) ${\mathcal {A}}$ 가 (π) 조건을 만족시킨다면, ${\mathcal {A}}$ 로부터 생성되는, (λ) 조건을 만족시키는 최소의 집합족은 시그마 대수이다.^[3]^{:42, §1.3, Theorem 3.3}
(단조류 정리 영어: monotone class theorem) ${\mathcal {A}}$ 가 (π′) 조건을 만족시킨다면, ${\mathcal {A}}$ 로부터 생성되는, (λ′) 조건을 만족시키는 최소의 집합족은 시그마 대수이다.^[3]^{:43, §1.3, Theorem 3.4}

증명 (딘킨 π-λ 정리):

${\mathcal {A}}$ 로부터 생성되는, (λ) 조건을 만족시키는 최소의 집합족을 $\lambda ({\mathcal {A}})$ 라고 하자. 그렇다면, $\lambda ({\mathcal {A}})$ 가 (π) 조건을 만족시킴을 보이면 된다.

{\mathcal {L}}_{1}=\{B\in \lambda ({\mathcal {A}})|\forall A\in {\mathcal {A}}\colon A\cap B\in \lambda ({\mathcal {A}})\}

라고 하자. 그렇다면, ${\mathcal {A}}$ 가 (π) 조건을 만족시키므로 ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {L}}_{1}$ 이다. 또한 ${\mathcal {L}}_{1}$ 는 (λ) 조건을 만족시킨다. 따라서, ${\mathcal {L}}_{1}=\lambda ({\mathcal {A}})$ 이다.

{\mathcal {L}}_{2}=\{A\in \lambda ({\mathcal {A}})|\forall B\in \lambda ({\mathcal {A}})\colon A\cap B\in \lambda ({\mathcal {A}})\}

라고 하자. ${\mathcal {L}}_{1}=\lambda ({\mathcal {A}})$ 이므로 ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {L}}_{2}$ 이며, ${\mathcal {L}}_{2}$ 는 (λ) 조건을 만족시키므로, ${\mathcal {L}}_{2}=\lambda ({\mathcal {A}})$ 이다. 즉, $\lambda ({\mathcal {A}})$ 는 (π) 조건을 만족시킨다.

증명 (단조류 정리):

위 증명을 (π′) 조건과 (λ′) 조건에 적용하면 단조류 정리의 증명을 얻는다.

범주론적 성질

가측 집합과 가측 함수의 범주 $\operatorname {Measble}$ 은 구체적 범주

F\colon \operatorname {Measble} \to \operatorname {Set}

F\colon (X,\Sigma )\mapsto X

를 이루며, $F$ 는 위상 함자이다. 따라서, $\operatorname {Measble}$ 은 완비 범주이며 쌍대 완비 범주이다.

$\operatorname {Measble}$ 의 시작 대상은 (유일한 가측 공간 구조를 갖춘) 공집합이며, $\operatorname {Measble}$ 의 끝 대상은 (유일한 가측 공간 구조를 갖춘) 한원소 집합이다.

예

$X$ 를 임의의 집합이라고 할 때, 다음은 모두 $X$ 위의 가측 공간 구조이다.

양의 정수가 아닌 임의의 기수 $\kappa$ $\kappa$ 에 대하여, $\left\{S\subseteq X|\min\{|S|,|X\setminus S|\}\leq \kappa \right\}$ $\left\{S\subseteq X|\min\{|S|,|X\setminus S|\}\leq \kappa \right\}$ 는 시그마 대수를 이룬다. 즉, 이는 $X$ $X$ 의 부분집합 가운데 크기가 $\kappa$ $\kappa$ 이하이거나 그 여집합의 크기가 $\kappa$ $\kappa$ 이하인 집합들의 족이다.
- 만약 $\kappa =0$ 이라면, 이는 $\{\varnothing ,X\}$ 이다. 이 집합족은 자명 가측 공간 구조이며, $X$ 위의 가장 엉성한 가측 공간 구조이다.
- 만약 $\kappa \geq |X|$ 라면, 이는 $X$ 의 멱집합 ${\mathcal {P}}(X)$ 이다. 이를 이산 가측 공간이라고 하며, 이는 $X$ 위의 가장 섬세한 가측 공간 구조이다.
$X$ 의 분할 $\textstyle X=\bigsqcup _{A\in {\mathcal {P}}}A$ 이 주어진다면, $\{\textstyle \bigcup {\mathcal {Q}}|{\mathcal {Q}}\subseteq {\mathcal {P}}\}$ 는 $X$ 위의 가측 공간 구조를 이룬다.

유한 집합 위의 시그마 대수

유한 집합 $X$ 위의 모든 가측 공간 구조는 $X$ 의 분할로서 정의된다. 즉, 유한 집합 위의 가측 공간 구조들은 그 분할과 일대일 대응하며, 크기가 $n=0,1,2,\dots$ 인 유한 집합 위의 가측 공간 구조의 수는 벨 수

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, … (OEIS의 수열 A000110)

이다.

예를 들어, 크기가 3인 유한 집합 $\{a,b,c\}$ 위의 분할과 가측 공간 구조들은 다음과 같다.

분할	가측 집합	비고
{a, b, c}	{}, {a, b, c}	자명 가측 공간
{a}, {b, c}	{}, {a}, {b, c}, {a, b, c}
{a, b}, {c}	{}, {a, b}, {c}, {a, b, c}
{a, c}, {b}	{}, {a, c}, {b}, {a, b, c}
{a}, {b}, {c}	{}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}	이산 가측 공간

보렐 시그마 대수

위상 공간 위의 보렐 집합들의 집합은 시그마 대수를 이루며, 이를 보렐 시그마 대수 $\operatorname {Borel} (X)$ 라고 한다.

위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$(X,\operatorname {Borel} (X))$ 는 분리 가측 공간이다.
$X$ 는 콜모고로프 공간이다.

유한 집합 위의 모든 가측 공간 구조는 적절한 위상의 보렐 시그마 대수로 나타낼 수 있다. 그러나 무한 집합의 경우 임의의 위상의 보렐 시그마 대상으로 나타낼 수 없는 가측 공간 구조 또한 존재한다.^[4]^[5] 구체적으로, $S$ 가 크기 $2^{\aleph _{0}}$ 의 비가산 집합이라고 하자. 크기 2의 이산 공간 $\{0,1\}$ 의 비가산 곱공간 $\{0,1\}^{S}$ 을 생각하자. 이 곱위상은 기저

{\mathcal {B}}=\left\{\prod _{s\in S}U_{s}\colon U_{s}\subseteq \{0,1\}\forall s\in S,\;|\{s\in S\colon U_{r}\neq \{0,1\}\}|<\aleph _{0}\right\}

로 생성된다. 그렇다면, ${\mathcal {B}}$ 로 생성되는 가측 공간 구조는 $\{0,1\}^{S}$ 위의 임의의 위상의 보렐 시그마 대수로 나타낼 수 없다.

증명:

우선, $|{\mathcal {B}}|=|S|=2^{\aleph _{0}}$ 이므로,

\sigma ({\mathcal {B}})\leq |S|^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}

이다. 귀류법을 사용하여 $\sigma ({\mathcal {B}})=\operatorname {Borel} ({\mathcal {U}})$ 가 되는 위상 ${\mathcal {U}}$ 가 존재한다고 하자. 그렇다면 $\sigma ({\mathcal {B}})$ 가 분리 시그마 대수이므로 ${\mathcal {U}}$ 는 콜모고로프 위상이다. 그러므로

\{0,1\}^{S}\to \sigma ({\mathcal {B}})

x\mapsto \operatorname {cl} _{\mathcal {U}}(\{x\})

(한원소 집합의 ${\mathcal {U}}$ -폐포)는 단사 함수이며,

2^{\aleph _{0}}=|\sigma ({\mathcal {B}})|\geq |\{0,1\}^{S}|=2^{2^{\aleph _{0}}}

인데, 이는 모순이다.

각주

↑ ^가 ^나 ^다 Tao, Terence (2011). 《An introduction to measure theory》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) 126. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-6919-2. Zbl 1231.28001.
↑ Hadad, Yaron (2012년 9월 6일). “Why aren't there infinitely countable sigma-algebras?” (영어).
↑ ^가 ^나 Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (영어) 3판. New York, N.Y.: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-00710-4.
↑ Ascherl, Albert (1984년 4월). “On the problem of generating sigma-algebras by topologies”. 《Statistics & Decisions》 (영어) 2 (3–4): 377-388. doi:10.1524/strm.1984.2.34.377. ISSN 0721-2631.
↑ Lang, Robert (1986년 1월). “A simple example of a non-Borel σ-field”. 《Statistics & Decisions》 (영어) 4 (1): 97–98. doi:10.1524/strm.1986.4.1.97. ISSN 0721-2631.

외부 링크

“Algebra of sets”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Measurable set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Measurable space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Sigma-algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Measurable space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Measurable set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Sigma-algebra”. 《nLab》 (영어).
“Measurable space”. 《nLab》 (영어).
“Measurable subset”. 《nLab》 (영어).
Tao, Terry. “245A, Notes 3: Integration on abstract measure spaces, and the convergence theorems”. 《What’s New》 (영어).
“Is every sigma-algebra the Borel algebra of a topology?” (영어). Math Overflow.

[Tao-1] 가 ^나 ^다 Tao, Terence (2011). 《An introduction to measure theory》 (PDF). Graduate Studies in Mathematics (영어) 126. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-6919-2. Zbl 1231.28001.

[2] Hadad, Yaron (2012년 9월 6일). “Why aren't there infinitely countable sigma-algebras?” (영어).

[Billingsley-3] 가 ^나 Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (영어) 3판. New York, N.Y.: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-00710-4.

[4] Ascherl, Albert (1984년 4월). “On the problem of generating sigma-algebras by topologies”. 《Statistics & Decisions》 (영어) 2 (3–4): 377-388. doi:10.1524/strm.1984.2.34.377. ISSN 0721-2631.

[5] Lang, Robert (1986년 1월). “A simple example of a non-Borel σ-field”. 《Statistics & Decisions》 (영어) 4 (1): 97–98. doi:10.1524/strm.1986.4.1.97. ISSN 0721-2631.

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