대수적 위상수학과 미분위상수학에서 드람 코호몰로지(영어: de Rham cohomology)는 매끄러운 다양체의 미분 형식에 대하여 존재하는 코호몰로지로서, 외미분의 제곱이 0인 사실에서 기인한다.[1][2] 미분 형식을 써 매끄러운 다양체의 위상수학적인 성질들을 효과적으로 표현할 수 있고, 계산에도 효율적이어서 매끄러운 다양체를 다루는 기본적 도구 가운데 하나다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 매끄러운 다양체
- 매끄러운 선형 다발
그렇다면, 위의 값의 미분 형식
을 정의할 수 있다. 위의 선형 다발 접속
을 고르면, 이로부터 값의 미분 형식의 외미분
을 정의할 수 있다. 그렇다면, 는 의 곡률에 비례하며, 만약 가 평탄 선형 다발 접속이라면 이다. 즉, 이 경우 공사슬 복합체
가 존재한다. 이를 드람 공사슬 복합체(de Rham共사슬複合體, 영어: de Rham cochain complex)라고 하며, 그 코호몰로지
를 계수의 드람 코호몰로지(영어: de Rham cohomology with coefficients in )라고 한다.
특히, 가 자명한 선형 다발 접속을 갖춘 자명한 선형 다발인 경우, 값의 미분 형식은 단순한 미분 형식이다. 만약 계수 가 명시되지 않았다면, 이 자명한 경우를 뜻한다.
다른 형식의 외미분인 미분 형식을 완전 미분 형식(完全微分形式, 영어: exact differential form)이라고 부르며, 외미분이 0인 형식을 닫힌 미분 형식(닫힌微分形式, 영어: closed differential form)이라고 부른다. 따라서 드람 코호몰로지 는 값의 차 닫힌 미분 형식의 공간에서 값의 차 완전 미분 형식을 더하는 것에 대한 동치류를 취한 상공간이다.
매끄러운 다양체 안의 k-특이 사슬 위에 k-형식 를 적분할 수 있다. 즉 가 정의 가능하다.
이는 스토크스 정리에 따라 드람 코호몰로지 에서 실수 계수 특이 코호몰로지 으로 가는 사슬 사상을 정의할 수 있다. 드람 정리에 따라 이는 사실 사슬 동형사상이다. 이는 조르주 드 람이 1931년에 증명하였다.
콤팩트 리만 다양체 위에는 호지 이론에 따라 조화 형식의 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우 호지 정리(Hodge theorem)에 따라 드람 코호몰로지와 조화 코호몰로지는 동형이다.
또한, 드람 코호몰로지는 (적절히 정의한) 체흐 코호몰로지나 알렉산더-스패니어 코호몰로지(Alexander–Spanier cohomology)와 동형이다.
복소다양체의 경우에는 드람 코호몰로지와 유사한 돌보 코호몰로지를 정의할 수 있다. 돌보 코호몰로지에도 스토크스 정리와 유사한 정리가 성립한다. 켈러 다양체의 경우 돌보 코호몰로지와 드람 코호몰로지는 동형이다.
임의의 두 매끄러운 벡터 다발 이 주어졌을 때, 다음이 성립하며, 이 동형 사상은 표준적이다.
즉, 자명한 벡터 다발과의 텐서곱에 대하여 다음이 성립한다.
특히, 0차원 벡터 다발 계수의 드람 코호몰로지는 자명군이다.
항상 그런 것은 아니지만, 경우에 따라서는 어떤 다양체의 드람 코호몰로지 군을, 몇가지 기본적인 다양체의 드람 코호몰로지 군에 대하 정보와 몇가지 기초적인 정리들, 예를 들면 마이어-피토리스 열 등을 사용하여 계산할 수 있을 때도 있다. 또 한 가지 드람 코호몰로지 군에 대해서 유용한 사실 한 가지는 이것이 호모토피 불변량이라는 사실이다. 몇 가지 기본적인 공간들의 드람 코호몰로지 군의 예를 보자.
차원 초구의 코호몰로지 군은
이다. 한편, 드람 코호몰로지 군은 호모토피 불변량이므로, 따라서 사실은 가 임의의 선분일 때에,
도 성립한다.
차원 원환면의 드람 코호몰로지는 다음과 같다.
구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간은 를 말한다. 이때에,
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뫼비우스의 띠 는 원과 호모토피 동치이므로 그 드람 코호몰로지는 다음과 같다.
간단한 예로, 매끄러운 다양체 이 개의 연결 성분을 지니면, 다음과 같이 계산할 수 있다.
즉, 매끄러운 다양체 위에서 정의된 매끄러운 함수의 기울기가 0이면, 그 함수는 각각의 연결 성분에서 상수 함수다.