미분기하학에서 복소수 미분 형식(複素數微分形式, 영어: complex differential form)은 복소다양체 위에 정의한 미분 형식이다. (실수) 매끄러운 다양체 위의 미분 형식과는 달리, 정칙 형식 · 돌보 코호몰로지 등의 개념을 정의할 수 있다.
차원의 복소다양체 을 생각하자. 그렇다면, 그 접다발의 복소화 는 복소구조 , 의 고윳값 에 따른 고유 공간
으로 분해되며, 이들은 각각 복소수 벡터 다발을 이룬다. 이 가운데 은 항상 정칙 벡터 다발이지만, 은 일반적으로 그렇지 않다.
이들에 각각 올별 복소수 쌍대 공간을 취하면, 복소수 벡터 다발
을 얻는다. 이들의 쐐기곱을 취하여 복소수 벡터 다발
을 취할 수 있다. (만약 이라면 이는 역시 정칙 벡터 다발이다.) 이 다발의 매끄러운 단면을 차 복소수 미분 형식이라고 한다.
은 정칙 벡터 다발이므로, 정칙 단면의 개념을 정의할 수 있다. 의 정칙 단면을 차 정칙 미분 형식(正則微分形式, 영어: holomorphic differential form)이라고 한다.
보다 일반적으로, 복소다양체 위의 정칙 벡터 다발 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 값의 복소수 미분 형식(영어: -valued complex differential form)을 의 매끄러운 단면으로 정의할 수 있다. 마찬가지로, 값의 차 정칙 미분 형식은 정칙 벡터 다발 의 정칙 단면이다.
국소적으로, 의 임의의 점의 근방 에 복소수 좌표 ()를 잡을 수 있다. 이에 따라 실수 다양체와 마찬가지로 국소적으로 복소수 미분 형식
를 정의할 수 있다. 그렇다면, 일반적인 복소수 미분 형식은 국소적으로
꼴의 형식을 취한다. 여기서 가 개, 가 개 있으면 이를 -형식으로 부른다.
국소 좌표계로는 p차 정칙 미분 형식 는 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 는 정칙 함수다. 즉, 차 정칙 미분 형식은
을 만족하는 차 복소수 미분 형식 이다.
복소다양체 은 복소구조를 잊으면 매끄러운 다양체이므로, 그 위에 (실수) 미분 형식을 정의할 수 있다. 이 경우
이므로,
이 된다.
이 경우, 외미분
은 돌보 복합체의 추가 등급에 따라서 분해되는데, 이 경우 항상
임을 보일 수 있다. 즉,
로 정의하면,
이다. 이 두 미분 연산자 과 을 돌보 연산자(Dolbeault演算子, 영어: Dolbeault operator)라고 부른다.
국소 좌표계로는 돌보 연산자를 외미분과 유사하게 정의할 수 있다. 즉 -형식 의 경우,
그 돌보 연산자는 다음과 같다.
여기서 , 는 다중지표다.
복소다양체의 돌보 연산자들은 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.
따라서 또는 로서 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 가운데, 로 정의되는 것은 의 정칙 단면의 층의 코호몰로지를 계산하며, 반대로 로 정의되는 것은 의 반정칙 단면의 층의 코호몰로지를 계산한다. 보통 정칙 함수 및 정칙 단면의 개념을 사용하므로, 보통 로 정의되는 코호몰로지를 사용한다.
즉, 다음과 같은, 복소수 벡터 공간(의 층)으로 구성된 사슬 복합체를 생각하자.
그 코호몰로지는 다음과 같이 -형식의 동치류 공간이다.
이를 돌보 코호몰로지(영어: Dolbeault cohomology)라고 부른다. 돌보 코호몰로지 공간의 (복소수 벡터 공간) 차원을 호지 수(영어: Hodge number)라고 부른다. 즉 호지 수 는 다음과 같다.
호지 수는 (복소수 벡터 공간의 차원이므로) 음이 아닌 정수 또는 무한대이다. 만약 복소다양체가 콤팩트하면 호지 수는 유한하다.
호지 수는 드람 코호몰로지의 차원인 베티 수 에 대응하며, 특히 다음이 성립한다.
차원 복소다양체는 총 개의 호지 수
를 가진다. 이 가운데 은 의 연결 성분의 수이다. 또한, 콤팩트 연결 복소다양체의 경우 세르 쌍대성
에 의하여
가 성립한다.
만약 이 켈러 다양체의 구조를 가질 경우, 항상
가 성립한다.
돌보 복합체
는 섬세층으로 구성되며, 차 정칙 단면들의 층의 분해를 이룬다. 즉, 그 코호몰로지는 차 정칙 단면의 층의 층 코호몰로지와 같다.
이를 돌보 정리(영어: Dolbeault's theorem)라고 한다. 특히, 만약 일 경우, 0차 정칙 미분 형식은 정칙 함수이므로, 돌보 복합체는 구조층의 코호몰로지를 계산한다.
이는 실수 미분 형식의 경우 드람 코호몰로지가 상수층 의 섬세한 분해를 이루는 것과 마찬가지다.
보다 일반적으로, 임의의 정칙 벡터 다발 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 돌보 복합체
는 의 층 코호몰로지의, 섬세층으로 구성된 분해를 이루며, 그 돌보 코호몰로지는 의 층 코호몰로지와 일치한다. (인 경우는 정칙 벡터 다발 의 층 코호몰로지이므로, 인 경우로 귀결된다.) 예를 들어
는 인 값의 (0,0)차 미분 형식의 복소수 벡터 공간, 즉 의 정칙 단면의 복소수 벡터 공간이다.
리만 구 위의 모든 정칙 벡터 다발은 다음과 같은 꼴이다.
여기서 는 차의 유일한 정칙 선다발이다. 이는 복소수 1차원이므로 은 표준 선다발과 같으며, 이는 이다. (리만-로흐 정리에 의하여, 종수 의 리만 곡면의 표준 선다발의 차수는 이며, 리만 구는 인 경우이다.)
리만-로흐 정리에 의하여,
이다. 즉,
- 위에 대역적으로 정의되는 0차 정칙 미분 형식(즉, 정칙 함수)은 상수 함수 밖에 없다.
- 위에는 대역적으로 정의되는 1차 정칙 미분 형식이 존재하지 않는다.
마찬가지로,
이다. 여기서 세르 쌍대성을 사용하였다.
물론, 위의 (0,0)차 및 (0,1)차 및 (1,0) 차 및 (1,1)차 복소수 미분 형식들의 공간은 각각 무한 차원의 복소수 벡터 공간이다.