現象が起きて調べてみると同様の報告が結構な数ありますね。
報告内容の構成や製品名が具体的ではないので「これでいけるのかなぁ」と思いつつポチってみて試したところ、OKだったので記載します。
- Mac mini (Late 2014) を使用しています。
- Mini DisplayPort - HDMI 変換ケーブル を使用して対応しました。
- Mini DisplayPort - HDMI 変換ケーブル の Mini DisplayPort は Mac mini の Thunderboltポート を使用しています。
NGパターン
Mac mini → HDMIケーブル → HDMI切替器 → HDMIケーブル → ディスプレイ
OKパターン
Mac mini → Mini DisplayPort - HDMI 変換ケーブル → HDMI切替器 → HDMIケーブル → ディスプレイ
HDMI切替器 は以下を使用しています。

サンワサプライ HDMI切替器2入力:1出力 SW-HD21
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Mini DisplayPort - HDMI 変換ケーブル は以下を使用しています。

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HDMIケーブル は以下を使用しています。

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対応までの流れ
Mac mini と WindowsPC の2台構成になったのでHDMI切替器を導入しました。
現象が起きたときHDMI切替器のLEDランプは光っているんですがディスプレイに出力はありませんでした。
WindowsPC の電源を入れたところディスプレイ出力が行われ、切替をしたところ Mac mini もディスプレイ出力ができていました。
HDMI切替器 に接続しているポートをそれぞれ逆にしても WindowsPC の電源が入っている時はディスプレイ出力ができていました。
Mac mini 単体だと、どのポートでもディスプレイ出力はできませんでした。
この事から Mac mini に原因があると思い調べた結果、HDMIでは出力不足のようなので Mini DisplayPort - HDMI 変換ケーブル を使用して対応しました。