対合

対合（たいごう^[1]、ついごう^[1]^[2]、involution）は、自分自身をその逆として持つ写像である。

$f^{-1}(x)=f(x),{\mbox{ for any }}x.$

これは空間上の変換であって、二回繰り返すと恒等変換となる（元に戻る）という性質

$\lambda (\lambda (x))=x,{\mbox{ for any }}x$

を持つものと言ってもよい。ただし、それ自身が恒等変換となるものは通常は除いて考える。またこれは変換群に属する位数 2 の元

$\sigma {\mbox{ which satisfies }}\sigma ^{2}=\mathrm {identity}$

を指すと言っても同じことであり、それを理由に一般の群（抽象群）においても位数 2 の元を対合と呼ぶことがある。

例

平面上の任意の点 x を、ある直線 l に関して対称な点 φ(x) に写す操作（鏡映）φ は、明らかに φ(φ(x)) = x を満たすから φ は平面上の対合である。
集合 A に対し、普遍集合 S において A の補集合 A^c をとる操作は、(A^c)^c = A を満たすから、この変換は S の冪集合における対合である。
複素数 z に対しその共役複素数 z^* をとる複素数体 C 上の変換は、 (z^*)^* = z を満たすから対合である。

対合つき代数系

群 G が与えられ、その上の写像 I: G → G が対合であって、次の関係

$(gh)^{I}=h^{I}g^{I},{\mbox{ for any }}g,h\in G$

を満たすとき、対合 I は G の群構造と両立するといい、組 (G, I) を対合付きの群と呼ぶ。群の逆元をとる演算

$g\mapsto g^{-1}$

は g, h を G の元とすれば

$(g^{-1})^{-1}=g,$
$(gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}$

を満たすので、これは群が標準的に持つ群構造と両立する対合である。

また、環 R とその上に対合 "*": R → R で

$(r+s)^{*}=r^{*}+s^{*},{\mbox{ for any }}r,s\in R,$
$(rs)^{*}=s^{*}r^{*},{\mbox{ for any }}r,s\in R,$
$1_{R}^{*}=1_{R}$

を満たすものの組 (R, "*") として対合付き環の概念が得られる。もっと一般に必ずしも可換でないものを含む二項演算（と単項演算、0項演算）のみからなる代数系 A にその上の対合 σ が存在するとき、σ が A からその逆代数系 A^opp への準同型となる（つまり、二項演算の順番を逆にし、単項、0 項演算と可換となる）とき、代数系 A の構造と対合 σ は両立するといい、組 (A, σ) を対合つき代数系と呼ぶ。たとえば、n 次全行列環 M_n(K) (K は可換環あるいは体)に、行列を転置させる写像 t を考えたとき、x, y を行列、λ をスカラーとすると