超立方体

超立方体（ちょうりっぽうたい、hypercube）とは、2次元の正方形、3次元の立方体、4次元の正八胞体を各次元に一般化した正多胞体である。なお、0次元超立方体は点、1次元超立方体は線分である。

正測体（せいそくたい）、γ体（ガンマたい）とも言い、n 次元超立方体を $\gamma _{n}$ と書く。

正単体、正軸体と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。

単に超立方体と言った場合は特に四次元の超立方体(tesseract)を指すこともある。

右図は、四次元超立方体を二次元に投影した図である。立方体を二次元に投影した場合と同様に、各辺の長さや成す角度は歪んでいるが、実際の辺の長さはすべて等しく、角も直角である。胞（立方体）の数は、投影図において外側の大きな立方体、内側の立方体、これら2つの対応する面をそれぞれ結ぶ（対応する稜線を4つ選ぶ）部分に6つあり、胞は計8つである。

作図

超立方体を作図するには、

$(\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)$

を頂点とし、最も近い（距離2の）頂点同士を辺で結べばよい。複号は全ての組み合わせを取る。

こうして作図された超立方体は、n 次元ユークリッド空間を $\mathbb {R} ^{n}$ で表して

$\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{\infty }\leq 1\}$

でも定義できる。

性質

特にことわらない限り、辺の長さが a の n 次元超立方体について述べる。

超体積は

$a^{n}\,$

超表面積は

$2na^{n-1}\,$

である。

ファセット (n - 1 次元面) は n - 1 次元超立方体である。したがって一般に、m (0 ≤ m ≤ n - 1) 次元面は m 次元超立方体である。たとえば、正八胞体（4次元超立方体）の面（2次元面）は正方形（2次元超立方体）、胞（3次元面）は立方体（3次元超立方体）である。

対角線の長さは、

${\sqrt {n}}a\,$

である。

m 次元面の個数は

$2^{n-m}{}_{n}\operatorname {C} _{m}$

である。これはパスカルのピラミッド（英語版）の第 n + 1 段の三角形の第 m + 1 段（頂点を下にした場合）の数字の総和に等しい。対角線に沿って見た場合、次元面たちは数字通りのグループに分割される。これは、 $3^{n}=(1+2)^{n}$ を二項展開し、 $3^{n}=(1+1+1)^{n}$ を三項展開することで示すことができる。特に、頂点（0次元面）は $2^{n}$ 個、辺（1次元面）は $2^{n-1}n$ 個、ファセットは $2n$ 個である。 ${}_{n}\operatorname {C} _{m}$ はパスカルの三角形の第 n + 1 段の m + 1 番目の数字であり、n - 1 次元単体の m - 1 次元面の個数である。