ベルトランのパラドックス

数学 確率論

確率論の分野のネタ。確率論の奥深さを物語る奇妙な事実をここで紹介する。

単位円（半径の長さが1の円）周上にでたらめに弦を引いた時、その弦の長さが円に内接する正三角形の辺（長さsqrt{3}）よりも長くなる確率を求めよ。


考え方 回答


【考え方１】三角形の一つの頂点Aを端とする弦を考えると、その弦がsqrt{3}より長くなるのはもう一方の端は弧BCの上の時だけ…弧BC/円周ABCなので1/3		 1/3

【考え方２】円内の一点Xを考える。Xを通り、Xと円の中心Oを結ぶ線分OXに直行する弦が1つ定まる。弦がsqrt{3}より長くなるのは、点XがO中心半径半分の円の中の時だけ。つまり、半径半分の円板の面積/元の円板の面積で1/4
 1/4

【考え方３】y=0の直径上の点(p,0)に対して、直交する直線x=pと単位円板の交わりによって弦が定まる。その弦がsqrt{3}より長くなるのはpが区間[-1/2,1/2]にある時なので、1/2		 1/2

 

【考え方４】考え方1の図の円を輪ゴムのようなものと考えて弧ABと弧CAは固定したまま弧BCだけを真下に引き延ばした曲線を考える。弧ABとBCを伸ばした曲線と弧CAが閉じた曲線Lをなす。AとBCをL上の点Xのを通る直線AXが、円Oと交わる点をDとすると弦ADが定まる。

この決め方だと、長さsqrt{3}より長いのはXが伸ばしたBC上にあるときなので、(全体-有限部分)/閉じた曲線L全体になるので、曲線BCを伸ばせば伸ばすほど1に近づく。よって、1/3から1の間の任意の値。
1/3から1の間の任意の値

 

【考え方５】考え方1の図の円を輪ゴムのようなものと考えて弧ABCは固定したまま弧CAだけを右上に引き延ばす。弧ABCとCAを伸ばした曲線とが閉じた曲線Lをなす。AとBCをL上の点のを通る直線AXが、円Oと交わる点をDとすると弦ADが定まる。この決め方だと、長さsqrt{3}より長いのはXが弧BCにあるときなので、有限の長さを持つ弧BC/閉じた曲線L全体になるので、曲線CAを伸ばせば伸ばすほど0に近づく。
よって、1/3から0の間の任意の値。
0から1/3の間の任意の値
あれ？答えがなんでもいいなんて不思議だ！いったいどうなっているのだろうか？