שבר עשרוני

במתמטיקה, שבר עשרוני הוא שיטה לרישום מספרים ממשיים. המספר חצי, למשל, מוצג בצורה 0.5 כשבר עשרוני. הנקודה המפרידה בין שני חלקיו של שבר הרשום בצורה כזו קרויה נקודה עשרונית משמאל לה נרשם חלקו השלם של המספר, ומימין לה נרשם חלק השבר של המספר. ישנן ארצות בהן משמש פסיק להפרדת החלק השלם מן השבר.

את הנקודה העשרונית, כפי שאנו מכירים אותה, הציג המתמטיקאי הסקוטי ג'ון נפייר בשנת 1617. בצורת רישום זו נשמרת שיטת הספירה העשרונית. על-כן, הספרה הראשונה מימין לנקודה מציינת כמות עשיריות, הספרה מימין לה את כמות המאיות וכך הלאה. למשל $42.53=4\times 10+2\times 1+5\times {\tfrac {1}{10}}+3\times {\tfrac {1}{100}}$.

פורמלית, המספר המיוצג על ידי הרצף $N=a_{n}a_{n-1}\cdots a_{0}\centerdot a_{-1}a_{-2}\cdots$, כאשר $a_{i}$ הן ספרות בין 0 ל-9, הוא:

$N=\sum _{i=-\infty }^{n}a_{i}\cdot 10^{i}$

מובטח שזהו טור מתכנס, משום שהזנב שלו חסום על ידי הטור ההנדסי: $0.999\ldots =\sum _{i=-\infty }^{-1}9\cdot 10^{i}=1$ (ראו 0.999...).

שבר עשרוני שניתן להציגו במספר סופי של ספרות קרוי שבר סופי. שבר סופי הוא תמיד מספר רציונלי. שבר פשוט שבו המכנה מתפרק לגורמים ראשוניים מלבד 2 ו-5, אינו ניתן להצגה כשבר סופי. השבר הפשוט $1 \over 3$ נכתב כשבר עשרוני ...0.33333, כלומר הספרה 3 חוזרת בו עד אינסוף. השבר הפשוט $1 \over 7$ נכתב בצורה ...0.142857 כאשר רצף הספרות 142857 חוזר שוב ושוב, עד אינסוף. שבר כזה, שבו יש רצף של ספרות החוזר שוב ושוב, קרוי שבר מחזורי. המחזור אינו מתחיל בהכרח בספרה הראשונה שמימין לנקודה העשרונית - השבר $1 \over 6$, למשל, נכתב בצורה ...0.16666, כלומר המחזור שלו כולל את הספרה 6, שמופיעה החל מהמקום השני מימין לנקודה. לציון החלק המחזורי יש הנוהגים להשתמש בקו מחבר מעל הספרות המרכיבות את המחזור, למשל:

${\frac {1}{3}}=0.333333\dots =0.{\overline {3}}$

${\frac {1}{6}}=0.16666\dots =0.1{\overline {6}}$

${\frac {1}{7}}=0.142857\dots =0.{\overline {142857}}$

כל מספר רציונלי, כלומר כל מספר הניתן להצגה כמונה חלקי מכנה, ניתן להצגה כשבר עשרוני בעל מספר סופי של ספרות או כשבר מחזורי. בהצגה כשבר עשרוני של מספר אי-רציונלי יש מימין לנקודה מספר אינסופי של ספרות, ללא מחזוריות כלשהי, ולכן ביכולתנו לרשום רק מספר סופי של הספרות הראשונות שמימין לנקודה (ברמת הדיוק הרצויה לנו), ואת ההמשך לסמן בשלוש נקודות (למשל: $\ \pi =3.141592...$). לכל מספר ממשי יש הצגה כשבר עשרוני (ייתכן עם אינסוף ספרות).

לכל מספר שניתן להציגו כשבר סופי יש הצגה שקולה כשבר אינסופי עם אינסוף תשיעיות בסופו. למשל המספר 0.3 שווה למספר 0.2999.... לפירוט ראו 0.999....

ייצוג מספרים בשיטה זו, שבה נקודה מפרידה בין החלק השלם לחלק השבר של המספר, אפשרי בכל בסיס, ולאו דווקא בבסיס עשרוני. המספר 10.1 בבסיס בינארי, למשל, שקול ל-2.5 בבסיס עשרוני.

ראו גם

• מספר p-אדי - מספרים שניתן להציגם עם אינסוף ספרות משמאל לנקודה ומספר סופי של ספרות מימין לנקודה.