מספר p-אדי

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בתורת המספרים וענפים שונים במתמטיקה, מספר p-אדי הוא פיתוח פורמלי לפי בסיס ראשוני $p$, שהוא סופי בצד החזקות השליליות $p^{-N}$, ועשוי להיות אינסופי בצד החזקות החיוביות. במובן זה, המספרים ה-p-אדיים הפוכים לשברים העשרוניים הרגילים, שהם סופיים מצד החזקות החיוביות, ועשויים להמשיך לאינסוף בצד החזקות השליליות. אוסף המספרים ה-p-אדיים תלוי במספר $p$, וכך קיימים מספרים 2-אדיים, 3-אדיים, 5-אדיים, וכן הלאה.

תכונות

במספר p-אדי, שצורתו הכללית

$a_{-N}p^{-N}+\cdots +a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots$

עשויים המקדמים $a_{-N},\ldots ,a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$ להיות מספרים שלמים כלשהם. אולם, כל מספר p-אדי ניתן להציג גם באופן כזה שהמקדמים יהיו בטווח $0\leq a_{i}\leq p-1$, והצגה זו היא יחידה. על כן מקובל להניח שתנאי זה מתקיים עבור המקדמים.

מבין מספרים ה-p-אדיים, השלמים ה-p-אדיים הם הביטויים $a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots$, שבהם אין חזקות שליליות של $p$.

מרחק בין שני מספרים

בין מספרים ה-p-אדיים $a,b$ מגדירים מרחק לפי חזקת $p$ הגדולה ביותר המחלקת את ההפרש – ככל שהחזקה גדולה יותר, המספרים קרובים יותר.

באופן פורמלי, אם $a=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots$ אזי $|a|_{p}=p^{-k}$, כאשר $k=\min\{n\in \mathbb {N} :a_{n}\neq 0\}$. כמו כן מגדירים $|0|_{p}=0$. המטריקה היא $d(a,b)=|a-b|_{p}$.

תחת הגדרה זו, כל מספר p-אדי מהווה טור מתכנס, משום שהגורמים $a_{n}p^{n}$ הולכים ונעשים קטנים יותר. בין המספרים ה-p-אדיים, הסדרה $1,p,p^{2},\ldots$ שואפת לאפס, בעוד שבמספרים הממשיים דווקא הסדרה ההפוכה $1,p^{-1},p^{-2},\ldots$ היא השואפת לאפס. היפוך תפקידים זה בין המספרים הממשיים למספרים ה-p-אדיים הוא המאפשר לחקור את המספרים הרציונליים דרך התבוננות במספרים הממשיים ובמספרים ה-p-אדיים בעת ובעונה אחת.

הצגת מספר שלילי

לפי ההגדרה, המקדמים $0\leq a_{i}\leq p-1$ בהצגה כטור חזקות הם חיוביים, ולכאורה אי אפשר להציג מספרים שליליים בתור מספרים p-אדיים. אך ההפך הוא הנכון.

לדוגמה: יהי $p=3$ ונתבונן במספר

$\ldots 222=2\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 3^{2}+\cdots$

נחבר לו את המספר 1, ונקבל

${\begin{array}{r}\ldots {\stackrel {1}{2}}{\stackrel {1}{2}}{\stackrel {}{2}}\\^{+}\ldots 001\\\hline \ldots 000\end{array}}$

שכן $1+2=3$ ולכן מקבלים 0 בעמודה הראשונה ומוסיפים 1 בתור נשא (carry) לעמודה השנייה, אך גם שם $1+2=3$ ולכן גם שם מקבלים 0 ומוסיפים 1 לעמודה הבאה, וכך הלאה. בסופו של דבר מקבלים:

$\ldots 222+1=0$

ולכן $-1=\,\ldots 222=2\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 3^{2}+\cdots$

במקרה הכללי מתקיים כי $-1=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }(p-1)p^{n}$. אפשר להוכיח זאת כמו בדוגמה של $p=3$ אך יש הוכחה אלגנטית יותר המשתמשת בנוסחה לסכום של טור הנדסי אינסופי (שהרי טור בחזקות הולכות וגדלות של $p$ מתכנס במטריקה ה-p-אדית). כאן $a_{0}=p-1,q=p$ ולכן

$S={\frac {a_{0}}{1-q}}={\frac {p-1}{1-p}}=-1$

כעת, כל מספר שלילי $m$ ניתן להציג כמכפלה של ההצגה ה-p-אדית של $|m|$ בהצגה ה-p-אדית של $-1$.

הצגת מספר רציונלי

כל מספר רציונלי ניתן להציג באופן יחיד בתור מספר p-אדי, שהוא לעולם מחזורי (ולהפך: מספר p-אדי הוא רציונלי אם ורק אם ההצגה שלו מחזורית). לדוגמה, בשדה המספרים ה-5-אדיים,

${\frac {2}{3}}=4+1\cdot 5+3\cdot 5^{2}+1\cdot 5^{3}+3\cdot 5^{4}+\cdots$

אכן, חזקות של המספר 5 שואפות לאפס (ולא לאינסוף), ולכן הטור $S=1+5^{2}+5^{4}+5^{6}+\cdots$ מתכנס, וסכומו על פי הנוסחה הידועה לסיכום טורים הנדסיים $S={\frac {1}{1-5^{2}}}=-{\frac {1}{24}}$. לכן הסכום לעיל מתכנס ל- $4+5\cdot S+3\cdot 5^{2}\cdot S=4-{\frac {80}{24}}={\frac {2}{3}}$.

השבר המצומצם ${\frac {a}{b}}$ הוא שלם p-אדי, אם ורק אם $p$ אינו מחלק את המכנה $b$. למספרים שלמים רבים יש שורש p-אדי. למשל,

${\sqrt {7}}=1+3+3^{2}+2\cdot 3^{4}+2\cdot 3^{7}+3^{8}+\cdots$

(ביטוי זה אינו מחזורי). כאשר $p\neq 2$, ו-$a$ הוא מספר שלם זר ל-$p$ ללא גורמים ריבועיים שלמים, יש ל-$a$ שורש p-אדי אם ורק אם $a$ הוא שארית ריבועית מודולו $p$. בין המספרים ה-p-אדיים לא ניתן להגדיר יחס סדר, מאחר שלמספר השלילי $1-p^{3}$ תמיד יש שורש p-אדי.

חשיבותם של המספרים ה-p-אדיים היא בכך שניתן להגדיר ביניהם פעולות של חיבור וכפל המחקות את אלה של המספרים הרציונליים. הרחבה זו של הפעולות אפשרית מכיוון שהביטוי ה-p-אדי נמשך לאינסוף רק בכיוון אחד. על ביטויים מאותו סוג הנמשכים לאינסוף לשני הכיוונים לא ניתן להגדיר פעולת כפל סבירה, והם חסרי ערך מתמטי.

הגישה האלגברית

ניתן להגדיר מספר p-אדי כסדרה הבאה:

$x=(\ldots ,x_{n},\ldots ,x_{1})=(x_{n})_{n=1}^{\infty }$

כך שלכל $n\geq 1$ מתקיים $x_{n}\in \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ (כלומר: כל איבר או רכיב בסדרה שייך לחוג הסופי של השלמים מודולו $p$). כמו כן, על רכיביה להתאים אחד לשני באופן הבא:

• הם מקיימים $\forall n\leq m:x_{n}=x_{m}\ {\text{mod}}\ p^{n}$
• או באופן שקול, המעבר מ-$x_{n}$ ל-$x_{n-1}$ נעשה על ידי $x+p^{n}\mapsto x+p^{n-1}$.

נסתכל בקבוצת כל הסדרות הנ"ל, קבוצה זו נקראת גבול הפוך או גבול פרויקטיבי. עבור $p$ ראשוני נתון, הגבול ההפוך הוא קבוצת המספרים ה-p-אדיים $\mathbb {Z} _{p}$. אפשר להפוך קבוצה זו לחוג על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל. זה נעשה באופן הבא:

• חיבור: $x+y=(\ldots ,x_{n},\ldots ,x_{1})+(\ldots ,y_{n},\ldots ,y_{1})=(\ldots ,x_{n}+y_{n},\ldots ,x_{1}+y_{1})$
• כפל: $x\cdot y=(\ldots ,x_{n},\ldots ,x_{1})\cdot (\ldots ,y_{n},\ldots ,y_{1})=(\ldots ,x_{n}y_{n},\ldots ,x_{1}y_{1})$

למעשה, מחברים וכופלים מספרים p-אדיים על ידי חיבור וכפל איבר-איבר (לפי רכיבים: $x_{n}+y_{n},x_{n}\cdot y_{n}\in \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$).
זהו חוג עם אפס $0=(\ldots ,0,0,0)$ ויחידה $1=(\ldots ,1,1,1)$. יתרה מזו, זהו גם תחום שלמות ולכן ניתן לבנות את שדה השברים על ידי לוקליזציה. שדה זה נקרא "שדה המספרים ה-p-אדיים" ומסומן $\mathbb {Q} _{p}$.

גישה זו שימושית באלגברה מופשטת ובתורת המספרים, למשל בחישוב פתרון של משוואה פולינומית מעל חוג ה-p-אדיים באמצעות הלמה של הנזל.

מעבר בין ההצגה כטור חזקות להצגה כגבול הפוך

נתון p ראשוני, ונרשום שלם p-אדי כטור חזקות וכסדרה של גבול הפוך:

$(\ldots ,x_{n},\ldots ,x_{1})=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots$

כדי לעבור מטור חזקות לסדרה יש לקחת סכומים חלקיים באופן הבא:

$x_{n+1}=\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}p^{k}$

בכיוון השני, אפשר להשתמש בחישוב רקורסיבי באופן הבא:

${\begin{array}{rcl}a_{0}&=&x_{1}\\a_{1}&=&{\dfrac {x_{2}-x_{1}}{p}}\\a_{2}&=&{\dfrac {x_{3}-x_{2}}{p^{2}}}\\a_{3}&=&{\dfrac {x_{4}-x_{3}}{p^{3}}}\\&\vdots &\\a_{n}&=&{\dfrac {x_{n+1}-x_{n}}{p^{n}}}\\&\vdots &\end{array}}$

או בנוסחה מפורשת:

$a_{n}={\frac {x_{n+1}-x_{n}}{p^{n}}}=x_{n+1}\ {\text{div}}\ p^{n}$

כאשר div הוא חילוק שלם, כלומר לקיחת החלק השלם וזריקת השארית (למשל $8\ {\text{div}}\ 3=(2+3\cdot 2)\ {\text{div}}\ 3=2$).

שדה המספרים וחוג השלמים ה-p-אדיים

קבוצת המספרים ה-p-אדיים מרכיבה שדה, הנקרא שדה המספרים ה-p-אדיים. אוסף השלמים ה-p-אדיים, שמסמנים ב-$\mathbb {Z} _{p}$, מהווה חוג מקומי בשם חוג השלמים ה-p-אדיים, המתייחס אל שדה המספרים ה-p-אדיים באותו יחס שיש בין חוג המספרים השלמים לשדה המספרים הרציונליים. לשדה המספרים ה-p-אדיים ולחוג השלמים המתאים לו יש תפקיד מרכזי בחקר האריתמטיקה של המספרים הרציונליים והמספרים השלמים. למשל, כדי להוכיח כי למשוואה דיופנטית אין פתרונות שלמים, די להוכיח כי אין לה פתרונות p-אדיים; בגלל המבנה האריתמטי הייחודי של המספרים ה-p-אדיים, זוהי לעיתים קרובות משימה קלה בהרבה.

כחבורה חיבורית, חוג השלמים ה-p-אדיים הוא גבול פרויקטיבי של החבורות הציקליות מסדר $p^{n}$. אוסף ההעתקות הרציפות מ-$\mathbb {Z} _{p}$ למעגל היחידה המרוכב הוא החבורה החליקה $\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} =\cup _{n\,=\,1}^{\infty }p^{-n}\mathbb {Z} /\mathbb {Z}$.

ראו גם

• שדה המספרים ה-p-אדיים

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מספר p-אדי בוויקישיתוף

• מספר p-אדי, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• אלכסנדר לובוצקי, שימושים ממשיים למספרים לא ממשיים, איגרת 37, דצמבר 2015
• אנדרו בייקר, הרצאות בקורס על מבוא למספרים p-אדים, אוניברסיטת גלאזגו, סקוטלנד, 2011
• מספר p-אדי, באתר MathWorld (באנגלית)

תרשים מערכות מספרים ואובייקטים קשורים