חבורה חליקה

במתמטיקה, ספציפית בתורת החבורות, חבורה חליקה היא חבורה אבלית בה אפשר לחלק כל איבר בכל מספר טבעי. חבורות חליקות הן חבורות חשובות בהבנת תורת החבורות האבליות, וזאת בעיקר משום שכל חבורה אבלית היא סכום ישר של חבורה חליקה וחבורה מצומצמת (ראו להלן), ומשום שכל חבורה אבלית אפשר לשכן בחבורה חליקה.

הגדרה

חבורה אבלית $G$ היא חליקה אם לכל איבר יש שורש מכל סדר. בכתיב חיבורי, הכוונה היא שלכל $x\in G$ ולכל $n$ טבעי יש $y\in G$ עבורו $x=yn$. כלומר, לכל $n$ טבעי מתקיים $G=nG$.

עבור $p$ ראשוני, אומרים כי חבורה היא p-חליקה אם לכל $x\in G$ יש $y\in G$ עבורו $x=py$. באופן דומה לחליקות, חבורה $p$ היא p-חליקה אמ"מם ורק אם $G=pG$. מהגדרה זו מקבלים גם תנאי שקול נוסף לחליקות - חבורה היא חליקה אם ורק אם היא p-חליקה לכל $p$ ראשוני.

חבורה היא חבורה מצומצמת אם אין לה אף תת-חבורה חליקה פרט לתת-החבורה הטריוויאלית.

תכונות והכללות

אם G חליקה אז כל מנה שלה היא חליקה. סכום ישר של חבורות הוא חליק אם ורק אם כל מרכיב שלו הוא חליק.

חבורה אבלית נוצרת סופית אינה יכולה להיות חליקה (אלא אם היא טריוויאלית). חבורה אבלית היא חליקה אם ורק אם אין לה תת-חבורה מקסימלית.

תת-חבורה חליקה $D$ היא מחובר ישר בחבורה כולה, כלומר, קיימת תת-חבורה $M$ כך ש-$G=M\oplus D$. גם להפך: אם D מחובר ישר בכל חבורה אבלית המכילה אותה, אז היא חליקה.

דוגמאות

• הרציונליים $\mathbb {Q}$ עם פעולת החיבור היא חליקה.
• באופן כללי יותר, החבורה החיבורית של מרחב וקטורי מעל $\mathbb {Q}$ היא חליקה.
• לכל ראשוני $p$, החבורה $\{r\in \mathbb {Q} \mid r={i}/{p^{n}}{\text{ for some }}i,n\in \mathbb {Z} \}$ עם פעולת החיבור מודולו 1 היא חליקה. חבורה זו נקראת חבורת-$p^{\infty }$, או $\mathbb {Z} (p^{\infty })$.
• החבורה הכפלית של המרוכבים $\mathbb {C} ^{*}$ היא חליקה.
• כל מנה של חבורה חליקה היא חליקה. בפרט, $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ חבורה חליקה.

הקשר לחבורות אבליות כלליות

לכל חבורה אבלית $G$ יש תת-חבורה חליקה מקסימלית (כזו שמכילה את כל תת-החבורות החליקות). מכאן שכל חבורה אבלית אפשר לפרק באופן יחיד לסכום ישר של חבורה חליקה וחבורה מצומצמת.

כל חבורה חסרת פיתול וחליקה היא מרחב וקטורי מעל $\mathbb {Q}$ (ולכן היא סכום ישר של עותקים של החבורה החיבורית $\mathbb {Q}$).

לחבורות מפותלות יש מחובר ישר שהוא או ציקלי מסדר ראשוני או חבורת-$p^{\infty }$ עבור $p$ ראשוני כלשהו, ומכאן שחבורה מפותלת ניתנת להפרדה לא טריוויאלית אם ורק אם היא ציקלית מסדר חזקה של ראשוני או חבורת-$p^{\infty }$. במקרה המיוחד בו החבורה היא חבורת-p, מקבלים גם כי כל תת-חבורה ציקלית מסדר מקסימלי היא מחוברת ישרה של החבורה כולה. אם החבורה היא חבורת-p שלכל איבר אפשר להוציא שורש $p$, בהכרח יש לה תת-חבורה שהיא $p^{\infty }$. במקרה של חבורת-p שהיא גם חליקה, מקבלים כי החבורה היא סכום ישר של חבורות-$p^{\infty }$.

בעזרת כל אלו אפשר להגיע למשפט פירוק כללי לחבורות חליקות.

משפט פירוק לחבורות חליקות

כל חבורה חליקה G היא סכום ישר של חבורה חליקה ומפותלת, וחבורה חליקה וחסרת פיתול. המרכיב הראשון הוא תת חבורת הפיתול של G, שמסמנים ב-$\mathrm {Tor} (G)$, והוא יחיד (היינו, מופיע בהכרח כמרכיב המפותל בכל פירוק כנ"ל). המרכיב השני יחיד עד כדי איזומורפיזם.

כל חבורה מפותלת מתפרקת לסכום ישר של מרכיבים פרימריים. המרכיב ה-p-פרימרי של חבורה חליקה הוא סכום ישר של עותקים של החבורה $\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z}$ (שמסמנים ב-$\mathbb {Z} (p^{\infty })$). הצגה זו אמנם אינה יחידה, אבל מספר המרכיבים מכל סוג קבוע.

הכללות למודולים

בספרות המתמטית נעשו מספר ניסיונות להכליל את המושג של חבורה חליקה למודולים. ההגדרות הבולטות שניתן למצוא בספרות למודול חליק $M$ מעל חוג $R$ הן:

1. $rM=M$ לכל סקלר $r\neq 0$ (לעיתים נדרש גם ש-$r$ אינו מחלק אפס, ולעיתים נדרש גם ש-$R$ יהיה תחום).
2. לכל אידיאל ראשי שמאלי $Ra$, כל הומומורפיזם מ-$Ra$ ל-$M$ אפשר להרחיב להומומורפיזם מ-$R$ ל-$M$.
3. לכל אידיאל שמאלי נוצר סופית $L$, כל הומומורפיזם מ-$L$ ל-$M$ אפשר להרחיב להומומורפיזם מ-$R$ ל-$M$.

כשבוחנים את הגדרות אלו, יש לשים לב שלעיתים הגדרות אלו מתלכדות אחת עם השנייה אם עם הגדרות אחרות בספרות. לדוגמה אם $R$ הוא תחום, שלוש ההגדרות מתלכדות. אם $R$ הוא חוג ראשי שמאלי, אז ההגדרה של מודול חליק מתלכדת עם ההגדרה של מודול אינג'קטיבי. בנוסף אם $R$ הוא תחום קומוטטיבי, אז המודולים האינג'קטיביים מתלכדים עם המודולים החליקים אם ורק אם $R$ הוא חוג דדקינד.