ד'אלמברטיאן

במתמטיקה ופיזיקה, בעיקר בתחומים תורת היחסות הפרטית, אלקטרומגנטיות ותורת הגלים, אופרטור ד'אלמבר או ד'אלמברטיאן, המסומל באמצעות $\scriptstyle \Box$ ("בוקס") ונקרא על שם ז'אן לה רון ד'אלמבר, הוא הרחבה של הלפלסיאן למרחב מינקובסקי ה-4 ממדי.

בקואורדינטות קרטזיות הוא מוגדר על ידי:

${\begin{aligned}\Box &=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=g_{\mu \nu }\partial ^{\nu }\partial ^{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}\end{aligned}}$

כאשר $g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$ היא מטריקת מינקובסקי ו-$\nabla ^{2}$ הוא הלפלסיאן והמכפלה מחושבת על פי הסכם הסכימה של איינשטיין.

שימושים

• משוואת קליין-גורדון נכתבת באמצעות הד'אלמברטיאן:

$(\Box +m^{2})\psi =0.\,$

כאשר $\psi \,$ היא פונקציית הגל של חלקיק יחסותי חופשי חסר ספין ו-$m\,$ היא מסת החלקיק.

• משוואת הגלים האלקטרומגנטיים בריק נכתבת באמצעות הד'אלמברטיאן:

$\Box A^{\mu }=0$

כאשר $A^{\mu }=(\phi ,{\vec {A}})$ הוא ה-4-וקטור של הפוטנציאל האלקטרומגנטי היחסותי של השדה האלקטרומגנטי.

• משוואת הגלים לתנודות קטנות יכולה להכתב באמצעות הד'אלמברטיאן:

$\Box _{c}u\left(x,t\right)\equiv u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0\,$

כאשר $u\left(x,t\right)\,$ זו התזוזה מנקודת שיווי המשקל.

• פונקציית גרין $G(x-x')\,$ עבור הד'אלמברטיאן מקיימת:

$\Box G(x-x')=\delta (x-x')$

כאשר $\delta (x-x')\,$ היא פונקציית דלתא של דיראק ו-$x\,$ ו-$x'\,$ הם נקודות במרחב מינקובסקי. פתרון המשוואה נותן את פונקציית גרין:

$G(t,x,y,z)={\frac {1}{2\pi }}\Theta (t)\delta (t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2})={\frac {1}{4\pi r}}\Theta (t)\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)$

כאשר $\,\Theta$ היא פונקציית מדרגה.

קישורים חיצוניים

• ד'אלמברטיאן, באתר MathWorld (באנגלית)