d'Alembert-operatoren

D'Alembert-operatoren (symbol: $\Box$) (eller boks-operatoren) er en differential-operator, der anvendes i bølgeteori, speciel relativitetsteori og elektromagnetisme. Operatoren optræder i Minkowski-rum i stedet for Laplace-operatoren og er opkaldt efter den franske matematiker og fysiker Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717-1783).

Operatoren

Operatoren er givet ved følgende sammensætning af partielle afledte:

$\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

hvor $x$, $y$ og $z$ er de tre rumlige koordinater, $t$ er tiden, og $c$ er lysets hastighed. Vha. Laplace-operatoren $\nabla ^{2}$ kan dette også skrives som:

$\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}$

Anvendelse

Bølger beskrives af bølgeligningen

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}u$

hvor $u$ er bølgens forskydning. Med d'Alembert-operatoren kan dette skrives mere kompakt som:

$\Box u=0$

Spire Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.