Operación binaria

Unha operación binaria defínese como aquela operación matemática que precisa dun operador e de dous operandos (argumentos) para que se poida calcular un valor.

Dados tres conxuntos A, B e C, unha operación binaria é unha aplicación que asigna a cada par de valores a de A e b de B un só valor c de C, que podemos representar:

f:\;A\times B\to C

Representando a operación polo signo $\circledcirc$ podemos expresar a operación:

a\circledcirc b=c\;,\quad \circledcirc (a,b)=c\;,\quad (a,b){\xrightarrow {\circledcirc }}c

Por exemplo, o operador de suma «+» de números naturais é un operador binario, porque require dous argumentos:

{\begin{array}{rcl}+:\;N\times N&\to &N\\(a,b)&\to &c=a+b\end{array}}

e temos que:

2+3=5\;,\quad +(2,3)=5\;,\quad (2,3){\xrightarrow {+}}5

O número de argumentos dunha función denomínase aridade.

Clase de operación binaria

Segundo os conxuntos A, B e C podemos diferenciar dous tipos de operacións, as internas nas que A = B = C, e as externas que son tódalas demais.

Operación interna

Se a cada par de valores (a, b) de $A^{2}$ a operación lle corresponde un valor c de A:

f:\;A\times A\to A

dise que esta operación é interna, e así, por exemplo, dado o conxunto de vectores de tres dimensións $V^{3}$ , e a suma de vectores, temos:

+:\;V^{3}\times V^{3}\to V^{3}

que a suma de dous vectores de $V^{3}$ é outro vector de $V^{3}$ . Por exemplo, dados os vectores:

\mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k}

\mathbf {b} =b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k}

a súa suma é:

\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} \;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )+(b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )\;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}+b_{x})\mathbf {i} +(a_{y}+b_{y})\mathbf {j} +(a_{z}+b_{z})\mathbf {k}

Operación externa

Se a operación non é interna, entón é externa, podéndose presentar os seguintes casos:

Se a cada par de valores a de A e b de B, asígnaselle un valor c de A,

f:\;A\times B\to A

a esta operación tamén se lle denomina lei de composición externa. Un exemplo sinxelo desta operación é o produto dun vector por un escalar:

\cdot :\;V^{3}\times R\to V^{3}

así, dado o vector:

\mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k}

o resultado de multiplicalo por un escalar b, será:

\mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot b\;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )\cdot b\;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\cdot b)\mathbf {i} +(a_{y}\cdot b)\mathbf {j} +(a_{z}\cdot b)\mathbf {k}

Se a operación é da forma:

f:\;A\times A\to B

na que a cada par de valores a, b de A se lle asigna un c de B, esta operación non se denomina lei de composición. Como exemplo podemos poñer o produto escalar de dous vectores, que da como resultado un número real:

\circ :\;V^{3}\times V^{3}\to R

así pois, dados os vectores:

\mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k}

\mathbf {b} =b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k}

o seu produto escalar será:

\mathbf {c} =\mathbf {a} \circ \mathbf {b} \;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )\circ (b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )\;,\quad \mathbf {c} =a_{x}\cdot b_{x}+a_{y}\cdot b_{y}+a_{z}\cdot b_{z}

Se a operación lle asigna a cada par de valores a de A e b de B un c de C, sendo A, B e C conxuntos distintos:

f:\;A\times B\to C

é o caso máis xeral, e tampouco se denomina lei de composición. Podemos ver o exemplo da división dun número enteiro entre un número natural para dar como resultado un número racional

{\begin{array}{rcl}/:\;Z\times N&\to &Q\\(a,b)&\to &c=a/b\end{array}}

Véxase tamén

Outros artigos