Graos de liberdade (física)

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Graos de liberdade.

O número de graos de liberdade nun sistema físico refírese ó mínimo de números reais que é necesario especificar para determinar de xeito único o estado físico. O concepto aparece en mecánica clásica e en termodinámica.

En mecánica, por cada partícula libre do sistema e por cada dirección na que esta é capaz de moverse existen dous grados de liberdade, un relacionado coa posición e outro coa velocidade.

Cando existen ligaduras entre partículas, o número de graos de liberdade é o número total de variables menos o número de ligaduras que as relacionan.

Obsérvese que esta definición non coincide nin coa definición de graos de liberdade que se usa en enxeñaría de máquinas, nin coa que se usa en enxeñaría estrutural.

Grados de liberdade en mecánica clásica

En mecánica hamiltoniana o número de graos de liberdade dun sistema coincide coa dimensión topolóxica do espazo das fases do sistema. En mecánica lagranxiana o número de graos de liberdade coincide coa dimensión do fibrado tanxente do espazo de configuración do sistema.

Un conxunto de N partículas intereactuantes movéndose sen restricións no espazo tridimensional ten 6N graos de liberdade (tres coordenadas de posición e tres velocidades). Se o conxunto de partículas se move sobre un estado d-dimensional o número de graos de liberdade é 2d·N.

Se existen $k$ ligaduras entre as partículas o número de graos de liberdade será

GL=6N-k\leq 6N

Exemplos

Partícula libre

Unha soa partícula libre ten 6 graos de liberdade

Partícula obrigada a moverse sobre unha superficie

A superficie supón unha ligadura para as posicións, e debe cumprirse

F(x,y,z)=0\,

e outra para as velocidades, pois a velocidade debe ser en todo momento tanxente á superficie, polo que

0=\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} =\mathbf {v} \cdot \nabla F=v_{x}{\frac {\partial F}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial F}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial F}{\partial z}}

polo tanto o número de graos de liberdade é

GL=6-2=4\,

valor que coincide co que se espera para un movemento nunha variedade bidimensional.

Dúas partículas nos extremos dunha vara

Por ter dúas partículas temos 12 grados de liberdade, pero a condición de que a distancia entre as partículas sexa fixa supón unha ligadura para as súas posicións e outra para as súas velocidades, o que dá

GL=12-2=10\,

Estes graos de liberdade poden representarse por variables diferentes (as tres coordenadas do centro da vara e os dos ángulos que dan a orientación desta, coas súas correspondentes velocidades).

Un sólido ríxido

Un sólido formado por $N$ partículas ten en principio $6N$ variables. Pero o número de ligaduras é:

- Para a primeira partícula, ningunha
- Para a segunda partícula, 2 (a distancia á primeira e a súa velocidade, como no caso de dúas partículas unidas por unha vara)
- Para a terceira partícula, 4 (as distancias ás dúas primeiras partículas e as súas correspondentes velocidades)
- Para a cuarta e seguintes, 6, pois dada a distancia a tres partículas, a distancia a todas as demais está tamén fixada).

Polo tanto o número de graos de liberdade é

GL=6N-2-4-6(N-3)=12\,

que se poden representar por seis variables (a posición do centro de masa e os ángulos de Euler) e as súas correspondentes velocidades.

En xeral, non todas as ligaduras poden representarse por unha redución no número de variables (aínda que si no número de variables independentes). Cando temos un sistema no que as ligaduras non son integrables dise que o sistema é non holónomo.

É importante sinalar que a convención para contabilizar os graos de liberdade en enxeñaría mecánica é diferente, sendo xusto a metade que nos casos (1) e (2) (consideración de posicións só, non de velocidades).