Función inxectiva

En matemáticas, unha función inxectiva (tamén coñecida como inxección ou función un a un) é unha función f que asigna elementos distintos do seu dominio a elementos distintos; é dicir, x₁ ≠ x₂ implica f(x₁) ≠ f(x₂) . (De forma equivalente, f(x₁) = f(x₂) implica x₁ = x₂ no enunciado contrapositivo equivalente.) Noutras palabras, cada elemento do codominio da función é a imaxe de como moito un elemento do seu dominio. O termo función un a un non debe confundirse coa correspondencia un a un que se refire a funcións bixectivas, que son funcións tales que cada elemento do codominio é unha imaxe de exactamente un elemento do dominio.

Un homomorfismo entre estruturas alxébricas é unha función compatíbel coas operacións das estruturas. Para todas as estruturas alxébricas comúns e, en particular para os espazos vectoriais, un homomorfismo inxectivo tamén se denomina monomorfismo. Porén, no contexto máis xeral da teoría de categorías, a definición dun monomorfismo difire da dun homomorfismo inxectivo.

Unha función $f$ que non é inxectivo chámase ás veces moitos a un.

Definición

Unha función inxectiva, que non é sobrexectiva.

Sexa $f$ unha función cuxo dominio é un conxunto $X.$ A función $f$ dise que é inxectiva sempre que para todos os $a$ e $b$ en $X,$ se $f(a)=f(b),$ entón $a=b$; é dicir, $f(a)=f(b)$ implica $a=b.$ De xeito equivalente, se $a\neq b,$ entón $f(a)\neq f(b)$ no enunciado contrapositivo.

Simbólicamente, $$\forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b,$$ que é loxicamente equivalente ao contrapositivo,$$\forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b).$$

Exemplos

Para obter exemplos visuais, os lectores poden ver á sección da galería.

• Para calquera conxunto $X$ e calquera subconxunto $S\subseteq X$, o mapa de inclusión $S\to X$ (que envía calquera elemento $s\in S$ a si mesmo) é inxectivo. En particular, a función de identidade $X\to X$ é sempre inxectiva (e de feito bixectiva).
• Se o dominio dunha función ten un elemento (é dicir, é un conxunto unitario), entón a función é sempre inxectiva.
• A función $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definida por $f(x)=2x+1$ é inxectiva.
• A función $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definida por $g(x)=x^{2}$ é non inxectiva, porque (por exemplo) $g(1)=1=g(-1).$ Porén, se $g$ se redefine para que o seu dominio sexan os números reais non negativos $[0,+\infty )$, entón $g$ é inxectiva.
• A función exponencial $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definida por $\exp(x)=e^{x}$ é inxectiva (mais non sobrexectiva, xa que ningún valor real se asigna a un número negativo).
• A función logaritmo natural $\ln :(0,\infty )\to \mathbb {R}$ definida por $x\mapsto \ln x$ é inxectiva.
• A función $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definida por $g(x)=x^{n}-x$ non é inxectiva, xa que, por exemplo, $g(0)=g(1)=0.$

Vista a función como unha gráfica, cando $X$ e $Y$ ambos os dous son a liña real $\mathbb {R} ,$ daquela unha función inxectiva $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ é aquela cuxa gráfica nunca se corta máis dunha vez por ningunha liña horizontal. Este principio denomínase test da liña horizontal.

As inxeccións pódense desfacer (teoría das categorías)

$f$ é unha retracción de $g$. E $g$ é unha sección de $f$.

As funcións con inversas pola esquerda son sempre inxeccións. É dicir, dado $f:X\to Y,$ se hai unha función $g:Y\to X$ tal que para cada $x\in X$, $g(f(x))=x$, entón $f$ é inxectiva. Neste caso, $g$ chámase retracción de $f.$ No outro sentido, $f$ chámase sección de $g.$

Viceversa, cada inxección $f$ cun dominio non baleiro ten un inverso pola esquerdo $g$. Pódese definir escollendo un elemento $a$ no dominio de $f$ e asignando $g(y)$ ao elemento único da preimaxe $f^{-1}[y]$ (se non está baleiro) ou a $a$ (noutro caso).

A inversa pola esquerda $g$ non é necesariamente unha inversa de $f,$ non seu sentido completo, porque a composición na outra orde, $f\circ g,$ pode diferir da identidade $Y.$ Noutras palabras, unha función inxectiva pódese "invertir" mediante unha inversa pola esquerda, mais non é necesariamente invertíbel, para ser invertíbel é necesario que a función sexa bixectiva.

De feito, para converter unha función inxectiva $f:X\to Y$ nunha función bixectiva (polo tanto invertíbel), abonda con substituír o seu codominio $Y$ pola súa imaxe $J=f(X).$ É dicir, sexa $g:X\to J$ tal que $g(x)=f(x)$ para todo $x\in X$; entón $g$ é bixectivo. De feito, $f$ pódese factorizar como $\operatorname {In} _{J,Y}\circ g,$ onde $\operatorname {In} _{J,Y}$ é a función inclusión de $J$ en $Y.$

Outras propiedades

A composición de dúas funcións inxectivas é inxectiva.

• Se $f$ e $g$ son ambas as dúas inxectivas, daquela a súa composición $f\circ g$ é inxectiva.
• Se $g\circ f$ é inxectiva, entón $f$ é inxectiva (mais $g$ non ten por que sela).
• $f:X\to Y$ é inxectiva se e só se, dada calquera función $g,$ $h:W\to X$ sempre que $f\circ g=f\circ h,$ daquela $g=h.$ Noutras palabras, as funcións inxectivas son precisamente os monomorfismos na categoría Conxunto de conxuntos.
• Se $f:X\to Y$ é inxectiva e $A$ é un subconxunto de $X,$ entón $f^{-1}(f(A))=A.$ Así, $A$ pódese recuperar da súa imaxe $f(A).$
• Se $f:X\to Y$ é inxectiva e $A$ e $B$ son ambos os dous subconxuntos de $X,$ entón $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B).$
• Toda función $h:W\to Y$ pódese descompoñer como $h=f\circ g$ para unha inxección $f$ e unha sobrexección $g$ adecuadas. Esta descomposición é única ata isomorfismo, e pódese considerar que $f$ é a función inclusión do intervalo $h(W)$ de $h$ como un subconxunto do codominio $Y$ de $h.$
• Se $f:X\to Y$ é unha función inxectiva, entón $Y$ ten polo menos tantos elementos como $X,$ no sentido de números cardinais. En particular, se, ademais, hai unha inxección de $Y$ a $X$, entón $X$ e $Y$ teñen o mesmo número cardinal. (Isto coñécese como teorema de Cantor–Bernstein–Schroeder).
• Se tanto $X$ como $Y$ son finitos co mesmo número de elementos, entón $f:X\to Y$ é inxectiva se e só se $f$ é sobrexectiva (neste caso $f$ é bixectiva).
• Unha función inxectiva que é un homomorfismo entre dúas estruturas alxébricas é un mergullo.
• A diferenza da sobrexectividade, que é unha relación entre a gráfica dunha función e o seu codominio, a inxectividade é unha propiedade só da gráfica da función; é dicir, se unha función $f$ é inxectiva pódese decidir só considerando a gráfica (e non o codominio) de $f.$

Demostrar que as funcións son inxectivas

Unha proba de que unha función $f$ é inxectiva depende de como se presente a función e de que propiedades posúe a función. Para as funcións que veñen dadas por algunha fórmula hai unha idea básica. Usamos a definición de inxectividade, é dicir, que se $f(x)=f(y),$ entón $x=y.$

Aquí temos un exemplo:

$f(x)=2x+3$

Proba: Sexa $f:X\to Y.$ Supoñamos $f(x)=f(y).$ Entón $2x+3=2y+3$ implica $2x=2y,$ o que implica $x=y.$ Polo tanto, da definición despréndese que $f$ é inxectiva.

Hai moitos outros métodos para demostrar que unha función é inxectiva. Por exemplo, no cálculo se $f$ é unha función diferenciábel definida nalgún intervalo, entón é suficiente demostrar que a derivada é sempre positiva ou sempre negativa nese intervalo. En álxebra linear, se $f$ é unha transformación linear é suficiente demostrar que o kernel de $f$ contén só o vector cero. Se $f$ é unha función con dominio finito basta con mirar a lista de imaxes de cada elemento de dominio e comprobar que ningunha imaxe aparece dúas veces na lista.

Galería

• 
  Unha función inxectiva non sobrexectiva (inxección, non bixección)
• 
  Unha función inxectiva sobrexectiva (bixección)
• 
  Unha función non inxectiva sobrexectiva (sobrexección, non bixección)
• 
  Unha función non inxectiva e non sobrexectiva (tampouco non é unha bixección)

• 
  Non é unha función inxectiva. Aquí $X_{1}$ e $X_{2}$ son subconxuntos de $X,Y_{1}$ e $Y_{2}$ son subconxuntos de $Y$: para dúas rexións onde a función non é inxectiva porque máis dun elemento do domino pode mapearse nun único elemento do rango. É dicir, é posíbel que máis dun $x$ en $X$ se asigne ao mesmo $y$ en $Y.$
• 
  Facer funcións inxectivas. A función anterior $f:X\to Y$ pódese transformar a unha ou máis funcións inxectivas (por exemplo) $f:X_{1}\to Y_{1}$ e $f:X_{2}\to Y_{2},$ mostradas como curvas sólidas nos dous diagramas (as partes de trazos da curva inicial fican sen asignar). Observe como $f$ non mudou, só o dominio e o intervalo. $X_{1}$ e $X_{2}$ son subconxuntos de $X,Y_{1}$ e $Y_{2}$ son subconxuntos de $Y$, de tal modo que función inicial pode facerse inxectiva para que un elemento de dominio poida mapear a un único elemento do rango. É dicir, só unha $x$ en $X$ corresponde a unha $y$ en $Y.$
• 
  Función inxectiva. Interpretación esquemática no plano cartesiano, definida por un mapa $f:X\to Y,$ onde $y=f(x),$ $X=$ dominio da función, $Y=$ rango da función, e $\operatorname {im} (f)$ indica a imaxe de $f.$ Cada $x$ en $X$ corresponde exactamente a un único $y$ en $Y.$ As partes redondeadas coloreadas dos eixos representan partes de dominio e do rango.

Véxase tamén

Bibliografía

• Bartle, Robert G. (1976). The Elements of Real Analysis (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-05464-1. , p. 17 ff.
• Halmos, Paul R. (1974). Naive Set Theory. New York: Springer. ISBN 978-0-387-90092-6. , p. 38 ff.

Outros artigos

• Bixección, inxección e sobrexección
• Espazo métrico inxectivo
• Función monótona
• Función univalente

Ligazóns externas

• Usos máis antigos dalgunhas das palabras das matemáticas: a entrada sobre Inxección, Sobrexección e Bixección ten a historia da Inxección e termos relacionados.
• Khan Academy – Funcións sobrexectivas (onto) e inxectivas (un-a-un): Introdución ás funcións sobrexectivas e inxectivas