Ecuación de Helmholtz

A ecuación de Helmholtz, chamada así por Hermann von Helmholtz, vén dada por:

$(\nabla ^{2}+k^{2})\phi =0$

onde $\scriptstyle \nabla ^{2}$ é o laplaciano, $\scriptstyle k$ é un número real positivo e $\scriptstyle \phi$ un campo escalar.

A ecuación aparece en varios contextos da física onde $\scriptstyle k$ se interpreta como o número de onda. A ecuación aparece no electromagnetismo, na teoría do potencial de Yukawa e como caso particular da ecuación de Klein-Gordon para un campo estacionario.

Ecuación en electromagnetismo

Vamos amosar como se deduce a ecuación de Helmholtz a partir das ecuacións de Maxwell. Para medios non condutores libres de fontes caracterizados por $\scriptstyle \epsilon$ e $\scriptstyle \mu (\sigma =0)$ , as ecuacións de Maxwell redúcense a:

(1)
${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-\mu {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}$

(2) ${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}=\epsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

(3) ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=0$

(4) ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {H}}=0$

As ecuacións anteriores (1), (2), (3) e (4) son ecuacións diferenciais de primeiro grao para os campos ${\vec {E}}$ e ${\vec {H}}$ . Podemos combinalas para producir unha ecuación de segundo grao contendo unicamente ${\vec {E}}$ ou ${\vec {H}}$ . Usamos as ecuacións (1) e (2) e operando obtense:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-\mu {\frac {\partial ({\vec {\nabla }}\times {\vec {H}})}{\partial t}}=-\mu \cdot \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$

Mais sabemos que:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}={\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}})-{\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}$

e usando a ecuación (3) temos que:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}$

Polo tanto, substituíndo os termos temos finalmente que:

${\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}=\mu \cdot \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$

A velocidade de fase vén dada por:

$v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}$

o que significa que: $v_{\mathrm {p} }={\frac {1}{\sqrt {\mu \epsilon }}}$

e polo tanto, substituíndo, temos:

${\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}-{\frac {1}{v_{\mathrm {p} }^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=0$

Analogamente podemos sacar a ecuación para ${\vec {H}}$ :

${\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {H}}-{\frac {1}{v_{\mathrm {p} }^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}=0$

Como podemos apreciar, as dúas ecuacións anteriores son as ecuacións de onda vectoriais homoxéneas. Descompoñendo estas dúas ecuacións obtidas en coordenadas cartesianas podemos descompoñelo en tres ecuacións de ondas escalares, homoxéneas e unidimensionais. Cada compoñente do campo eléctrico e magnético debe satisfacer unha ecuación cuxa solución representa unha onda. Se se supón que o campo ten dependencia harmónica co tempo da forma ${\vec {\psi }}={\mbox{Re}}({\vec {\psi _{0}}}e^{-i\omega t})$ , onde $\psi$ pode ser tanto ${\vec {E}}$ como ${\vec {H}}$ , chégase á conclusión: