Conxunción lóxica

Conxunción lóxica
AND

Diagrama de Venn da conxunción
Outros nomes	AND, E
linguaxe natural	A e B
linguaxe formal	$A\land B$
outros símbolos	$\land$, $\cup$, $\cdot$, &, &&.
táboa de verdade	${\begin{array}{c|c||c}A&B&A\land B\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&F\\\end{array}}$
porta lóxica

Conectivas lóxicas
NOT (NON) $\neg A$, $-A$, ${\overline {A}}$, $\sim A$ AND (E) $A\land B$, $A\cdot B$, $AB$, $A\&B$, $A\&\&B$ NAND (NON E) $A{\overline {\land }}B$, $A\uparrow B$, $A\mid B$, ${\overline {A\cdot B}}$ OR (OU) $A\lor B$, $A+B$, $A\mid B$, $A\parallel B$ NOR (NON OU) $A{\overline {\lor }}B$, $A\downarrow B$, ${\overline {A+B}}$ XNOR (NON OU exclusivo) $A\ {\text{XNOR}}\ B$ └ equivalencia $A\equiv B$, $A\Leftrightarrow B$, $A\leftrightharpoons B$ XOR (OU exclusivo) $A{\underline {\lor }}B$, $A\oplus B$ └ non equivalencia $A\not \equiv B$, $A\not \Leftrightarrow B$, $A\nleftrightarrow B$ Implicación $A\Rightarrow B$, $A\supset B$, $A\rightarrow B$ Implicación recíproca $A\Leftarrow B$, $A\subset B$, $A\leftarrow B$

Diagrama de Venn de $A\wedge B\land C$

En lóxica, matemáticas e lingüística, e ($\wedge$ ou AND) é o operador da conxunción ou da conxunción lóxica. A conectiva lóxica deste operador adoita representarse como $\wedge$ou $\&$ ou $\times$ ou $\cdot$ dos que $\wedge$ é o máis moderno e utilizado.

O e (AND) dun conxunto de operandos é verdadeiro se e só se todos os seus operandos son verdadeiros, é dicir, $A\land B$ é certo se e só se $A$ é verdade e $B$ é certo.

Máis aló da lóxica, o termo "conxunción" tamén se refire a conceptos similares noutros campos:

• En teoría de conxuntos, intersección.
• Na teoría da orde, conxunción lóxica (ínfimo).

Definición

Na lóxica clásica, a conxunción lóxica é unha operación sobre dous valores lóxicos, normalmente os valores de dúas proposicións, que produce un valor verdadeiro se e só se ambos os seus operandos son verdadeiros.

Táboa de verdade

A táboa de verdade $A\land B$:

$A$	$B$	$A\land B$
F	F	F
F	V	F
V	F	F
V	V	V

Definido por outros operadores

En sistemas onde a conxunción lóxica non é unha primitiva, pódese definir como

$A\land B=\neg (A\to \neg B)$

Pódese comprobar mediante a seguinte táboa de verdade (compare as dúas últimas columnas):

$A$	$B$	$\neg B$	$A\rightarrow \neg B$	$\neg (A\rightarrow \neg B)$	$A\land B$
F	F	V	V	F	F
F	V	F	V	F	F
V	F	V	V	F	F
V	V	F	F	V	V

ou

$A\land B=\neg (\neg A\lor \neg B).$

Pódese comprobar mediante a seguinte táboa de verdade (compare as dúas últimas columnas):

$A$	$B$	$\neg A$	$\neg B$	$\neg A\lor \neg B$	$\neg (\neg A\lor \neg B)$	$A\land B$
F	F	V	V	V	F	F
F	V	V	F	V	F	F
V	F	F	V	V	F	F
V	V	F	F	F	V	V

Regras de introdución e eliminación

Como regra de inferencia, a introdución da conxunción é unha forma argumental simple e clásicamente válida. A forma argumental ten dúas premisas, $A$ e $B$. Intuitivamente, permite inferenciar a súa conxunción.

$A$,

$B$.

Polo tanto, $A$ e $B$.

(teño $A$, teño $B$, polo tanto teño $A$ e $B$)

ou en notación de operador lóxico,

$\vdash A,$

$\vdash B$

$\vdash A\land B$

Aquí temos un exemplo dun argumento que se axusta á introdución da forma conxunción:

A Mencía gústanlle as mazás.

A Mencía gústanlle as laranxas.

Polo tanto, a Mencía gústanlle as mazás e as laranxas.

A eliminación da conxuncións é outra forma argumental simple e válida clásicamente. Intuitivamente, permite a inferencia de calquera conxunción de calquera dos elementos desa conxunción.

$A$ e $B$.

Polo tanto, $A$.

(teño $A$ e $B$, polo tanto teño $A$)

... ou alternativamente,

$A$ e $B$.

Polo tanto, $B$.

(teño $A$ e $B$, polo tanto teño $B$)

En notación de operador lóxico:

$\vdash A\land B$

$\vdash A$

... ou alternativamente,

$\vdash A\land B$

$\vdash B$

Negación da conxunción

Definición

Unha conxunción $A\land B$ demóstrase falsa ao estabelecer calquera de $\neg A$ ou $\neg B$. Por exemplo

$\neg A\to \neg (A\land B)$

(Non $A$ implica non ($A$ e $B$) ).

Outras estratexias de proba

Se $A$ implica $\neg B$, entón tanto $\neg A$ así como $A$ dan como falsa a conxunción:

$(A\to \neg {}B)\to \neg (A\land B)$

Noutras palabras, unha conxunción pódese demostrar que é falsa só coñecendo a relación das súas premisas, e non é necesario saber os seus valores de verdade.

Propiedades

conmutividade : si

$A\land B$	$\Leftrightarrow$	$B\land A$
	$\Leftrightarrow$

asociatividade : si

$~A$	$~~~\land ~~~$	$(B\land C)$	$\Leftrightarrow$			$(A\land B)$	$~~~\land ~~~$	$~C$
	$~~~\land ~~~$		$\Leftrightarrow$		$\Leftrightarrow$		$~~~\land ~~~$

distributividade : con varias operacións, especialmente con OR

$~A$	$\land$	$(B\lor C)$	$\Leftrightarrow$			$(A\land B)$	$\lor$	$(A\land C)$
	$\land$		$\Leftrightarrow$		$\Leftrightarrow$		$\lor$

idempotencia : si

$~A~$	$~\land ~$	$~A~$	$\Leftrightarrow$	$A~$
	$~\land ~$		$\Leftrightarrow$

monótona : si

$A\rightarrow B$	$\Rightarrow$			$(A\land C)$	$\rightarrow$	$(B\land C)$
	$\Rightarrow$		$\Leftrightarrow$		$\rightarrow$

Se se usan valores binarios para verdadeiro (1) e falso (0), entón a conxunción lóxica funciona exactamente como a multiplicación aritmética normal.

Aplicacións en enxeñaría informática

AND porta lóxica

Na programación informática de alto nivel e na electrónica dixital, a conxunción lóxica esta normalmente representada por un operador infixo, normalmente como unha palabra como "AND", unha multiplicación alxébrica ou o símbolo & (ás veces dobrado como &&).

A conxunción lóxica úsase a miúdo para operacións bit a bit, onde 0 corresponde a falso e 1 a verdadeiro:

• 0 AND 0 = 0,
• 0 AND 1 = 0,
• 1 AND 0 = 0,
• 1 AND 1 = 1.

A operación tamén se pode aplicar a dúas palabras binarias vistas como cadeas de bits de igual lonxitude, tomando o AND bit a bit de cada par de bits nas posicións correspondentes. Por exemplo:

• 11000110 AND 10100011 = 10000010 .

Correspondencia na teoría de conxuntos

A pertenza dun elemento a un conxunto intersección na teoría de conxuntos defínese en termos dunha conxunción lóxica: $x\in A\cap B$ se e só se $(x\in A)\wedge (x\in B)$. A través desta correspondencia, a intersección teórica de conxuntos comparte varias propiedades coa conxunción lóxica, como a asociatividade, a conmutividade e a idempotencia.

Véxase tamén

Outros artigos

• Porta AND.
• Función booleana.
• Leis de De Morgan.

Ligazóns externas

• "Conjunction". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 
• Wolfram MathWorld: Conjunction
• "Property and truth table of AND propositions". Arquivado dende o orixinal o maio 6, 2017.