Pallopeili

Pallopeili on pallonpinnan muotoinen heijastava kappale. Kun pallon pinnasta leikatun osan eli kalotin muotoinen ja päällystetään se sisäpinnalta valoa heijastavalla aineella, saadaan leikatusta kappaleesta kovera peili. Vastaavasti pinnoittamalla ulkopinnalta saadaan kupera peili.

Koveria ja kuperia pallopeilejä käytetään peilikaukoputkissa ja useissa muissa optisissa laitteissa linssien ohella.

Kuvausominaisuudet

Kovera pallopeili

Kuvan muodostuminen koverassa pallopeilissä, kun esine on kaarevuuskeskipistettä (C) kauempana peilistä. F on peilin polttopiste.

Kuvan muodostuminen koverassa pallopeilissä, kun esine on tasan kaarevuuskeskipisteessä (C).

Valonsäteet, jotka tulevat peiliä kohti sen pääakselin suuntaisesti, leikkaavat toisensa likipitäen samassa pisteessä, jota sanotaan peilin polttopisteeksi. Sen etäisyyttä peilistä sanotaan peilin polttoväliksi, jota kaavoissa merkitään kirjaimella f. Peilin polttoväli on puolet pallopinnan säteestä.

Jos kuvattava esine sijaitsee kauempana koverasta pallopeilistä kuin sen polttopiste, peili muodostaa esineestä todellisen kuvan. Tällöin siis kaikki esineen samasta pisteestä lähteneet, peilistä heijastuneet säteet leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka sijaitsee samalla puolella peiliä kuin kuvattava esinekin. Jos merkitään esineen etäisyyttä peilistä S₁:llä, kovera peili muodostaa kuvan etäisyydelle S₂, joka voidaan laskea saman yhtälön, Gaussin kuvauslain avulla, joka pätee myös linsseille:

${\frac {1}{S_{1}}}+{\frac {1}{S_{2}}}={\frac {1}{f}}$

Kuvan muodostuminen koverassa pallopeilissä, kun esine on kaarevuuskeskipisteen ja polttopisteen (F) välissä.

Jos kohde on kaarevuuskeskipistettä kauempana, kuva muodostuu pienennettynä kohteen ja peilin väliin ja on lisäksi ylösalaisin. Niinpä riittävän suuresta koverasta peilistä ihminenkin voi nähdä kuvansa ylösalaisin.

Jos esine on pallon keskipisteessä eli sen etäisyys peilistä on r = 2f, kuva muodostuu esineen kohdalle ja on esineen kokoinen mutta ylösalaisin.

Jos esine sijaitsee pallon keskipisteen ja polttopisteen välissä (f < S₁ < 2f), kuva muodostuu suurennettuna kauemmas peilistä kuin missä kohde sijaitsee, ja tällöin se on itse asiassa havaittavissa vain, jos kohde on läpikuultava, siinä on reikiä tai jos se sijaitsee hieman syrjässä peilin pääakselilta.

Kuvan muodostuminen koverassa peilissä, kun esine on polttopisteen (F) ja peilin välissä.

Jos esine on polttopistettä lähempänä peiliä eli S1 < f, peilistä heijastuneet valonsäteet eivät leikkaa toisiaan, mutta niiden kuvitteelliset jatkeet peilin toisella puolella leikkaavat. Tällöin peili muodostaa esineestä valekuvan peilin taakse samaan tapaan kuin tasopeilikin.

Kuvan suurennussuhde

Kuvan suurennussuhde M voidaan laskea yhtälöstä

$M=-{\frac {S_{2}}{S_{1}}}={\frac {f}{f-S_{1}}}$ ,

Kun S₁ on suurempi kuin f, saatu suurennussuhde M on kuitenkin negatiivinen, mikä osoittaa, että kuva on ylösalaisin. Jos M < -1, kuva on esinettä suurempi, muussa tapauksessa pienempi.

Jos kuitenkin kohteen etäisyys peilistä on pienempi kuin sen polttoväli eli jos S₁ < f, saadaan ylempänä olevasta yhtälöstä kuvan etäisyydelle S₂ negatiivinen arvo. Tämä merkitsee sitä, että samasta pisteestä lähteneet, peilistä heijastuneet valonsäteet eivät leikkaa toisiaan, mutta niiden jatkeet peilin toisella puolella leikkaavat. Tällöin peili siis muodostaa esineestä valekuvan peilin taakse samaan tapaan kuin tasopeilikin. Tässä tapauksessa edellä olevasta yhtälöstä laskettu suurennussuhde M on positiivinen, ja kuva on oikein päin.

Mitä suurempi on peilin kaarevuussäde, sitä enemmän se muistuttaa tasoa. Rajatapauksessa, kun f = ∞ ja 1/f = 0, edellä olevat yhtälöt yksinkertaistuvat muotoon

${\frac {1}{S_{1}}}+{\frac {1}{S_{2}}}=0$

ja

$M=-{\frac {S_{2}}{S_{1}}}=1$ ,

joista saadaan S₂ = -S₁ ja M = 1.

Toisin sanoen tässä rajatapauksessa kuva on peilin takana samalla etäisyydellä kuin esinekin ja alkuperäisen suuruinen, kuten tasopeilissä.

Kupera pallopeili

Kupera pallopeili hajottaa siihen osuvat samasta suunnasta tulevat valonsäteet. Myös kupera pallopeili, jonka kaarevuussäde on riittävän suuri, muodostaa kuvan lähellä olevista esineistä. Kuva on kuitenkin aina pienentynyt valekuva peilin takana. Myös kuperalle pallopeilille pätevät samat laskukaavat kuin koverillekin, mutta polttoväli f on laskettava negatiivisena.

Palloaberraatio ja paraboliset peilit

Peilistä heijastuneet, pääakselin suuntaiset säteet tai niiden jatkeet leikkaavat toisensa tarkalleen samassa pisteessä vain, jos peilin pinta on paraboloidin muotoinen. Silloin kyseessä on parabolinen peili. Pallopeilissä ne leikkaavat toisensa vain likipitäen samassa pisteessä. Tätä poikkeamaa sanotaan palloaberraatioksi eli pallopoikkeamaksi, ja se aiheuttaa, että pallopeilin muodostama kuva on aina hieman sumea.