Alderantzizko elementu

Aljebran, multzoan definitutako eragiketa biderketa denean, alderantzizko elementua elementu baten simetrikoa da; $a\,$ elementuaren alderantzizko elementua $a^{-1}\,$ da hau betetzen badu:

$a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$

$e\,$ multzoaren elementu neutroa izanik (alegia, 1) eta $a^{-1}={\frac {1}{a}}$.

Adibideak

• $2\,$ zenbakiaren alderantzizkoa zenbaki arrazionalen multzoan ${\frac {1}{2}}\,$ edo 0,5 da.
• i zenbaki irudikariaren alderantzizkoa -i da, zeren i·(-i)=1 baita.
• f funtzio baten alderantzizkoa, bijektiboa bada, g funtzioa da, f·g = g·f = I bada, non I identitate funtzioa den.

Eragiketa batuketa denean, aurkako elementu izena ematen zaio.

Elementu simetrikoa

Aljebra abstraktuan, $A\,$ multzo batean $\circ$ eragiketa definiturik badago, honela adierazita: $(A,\circ )\,$, $\circ$ eragiketa $A\,$ multzoko barne-eragiketa izanda:

$\forall a,b\in A:\quad a\circ b\in A$

eta $e\,$ elementu neutroa badago,

$\forall a\in A,\quad \exists e\in A:\quad a\circ e=e\circ a=a$

Esaten da $a\in A$ elementuak daukala:

elementu simetriko ezker aldetik $\circ$ eragiketarekiko, hau betetzen bada:

$a\in A,\quad \exists {\overrightarrow {a}}\in A:\quad {\overrightarrow {a}}\circ a=e$

elementu simetriko eskuin aldetik $\circ$ eragiketarekiko, hau betetzen bada:

$a\in A,\quad \exists {\overleftarrow {a}}\in A:\quad a\circ {\overleftarrow {a}}=e$

elementu simetrikoa $\circ$ eragiketarekiko, elementu simetriko ezker aldetik eta eskuin aldetik existitzen bada, hau da:

$a\in A,\quad \exists {\bar {a}}\in A:\quad {\bar {a}}\circ a=a\circ {\bar {a}}=e$

$A\,$ multzoko elementu simetriko bat ${\bar {a}}$ simetrikoa da $a\,$ elementuaren eskuin aldetik eta ezker aldetik.

Kanpo estekak

• Datuak: Q338057