Noetheri teoreem

Emmy Noether, matemaatik, kelle järgi on teoreem nime saanud

Noetheri teoreemi järgi vastab igale mõju sümmeetriale mingi jäävusseadus. Teoreemi tõestas matemaatik Emmy Noether 1915. aastal Mõju on lagranžiaani integraal üle aja, üldisemal juhul lagranžiaani tiheduse integraal üle aegruumi. Süsteemi liikumisvõrrandid saab tuletada mõjust vähima mõju printsiibi abil.

Noetheri teoreemi kasutatakse laialdaselt teoreetilises füüsikas. See üldistab mehaanikast tuntud jäävaid suurusi ja võimaldab neid tuletada üldisematest printsiipidest, üldiselt sümmeetriatest. Kui süsteem ei ole täielikult kirjeldatud lagranžiaaniga, siis ei saa sellele Noetheri teoreemi rakendada. Näiteks kadudega süsteemides võivad olla erinevad sümmeetriad, aga jäävusseadused ei pruugi kehtida.

Sissejuhatavad näited

Lagranžiaani abil kirjeldatakse paljusid süsteeme. Näiteks mehaanilise süsteemi liikumist või elementaarseid välju teoreetilises füüsikas. Noetheri teoreemi saab rakendada üldiste lagranžiaanide kohta, mis iganes konkreetset süsteemi kirjeldatakse.

Kui lagranžiaan on sümmeetriline pöörete suhtes, siis vastavalt Noetheri teoreemile kehtib impulsimomendi jäävus. Sümmeetrilisus pöörete suhtes tähendab, et süsteemi areng ei sõltu sellest, mis nurga all ta on ümbritseva maailma suhtes. Teisiti öeldes: lagranžiaan ei muutu pöördele vastava koordinaatteisendusega. Pöördsümmeetriline ei pea olema mitte füüsiline süsteem ise, vaid süsteemi arengut kirjeldav lagranžiaan. Sõltumatus orientatsioonist tähendab, et võime süsteemi keerata ümbritsevate kehade suhtes, ja süsteemi käitumist kirjeldavad võrrandid jäävad samale kujule. Sisuliselt võimaldab Noetheri teoreem tuletada impulsimomendi jäävuse omadusest, et süsteemi pöörates jäävad võrrandid samale kujule.

Kui süsteemi areng ei sõltu ruumi ja aja siiretest, siis Noetheri teoreemi järgi peavad kehtima vastavalt energia- ja impulsijäävus. Sõltumatus aja ja ruumi nihetest tähendab, et näiteks pendli liikumine ei sõltu sellest, kas me liigutame kogu süsteemi teatud vahemaa võrra edasi mingis suunas ja paneme ta seal liikuma, või paneme pendli liikuma mõnel teisel ajahetkel, aga samas algseisundis. Noetheri teoreem nihetele rakendatuna võimaldab järeldada energia- ja impulsijäävuse küllaltki mõistlikust eeldusest, et süsteemi käitumine ei sõltu sellest, et me seda liigutame näiteks mõned meetrid edasi või teeme sellega katseid mõnel teisel päeval.

Noetheri teoreem võimaldab süstematiseeritult jäävusseadusi tuletada. Teistpidi võimaldab ta leida antud jäävusseadustele vastavaid lagranžiaane. Näiteks oletame, et on teooria, mille järgi on teatud suurus konstantne. Selle konstantse suuruse ja Noetheri teoreemi abil saab uurida, millist tüüpi lagranžiaanid võiksid sobida seda konkreetset teooriat kirjeldama.

Noetheri teoreemist on eri versioone ja neid saab erinevalt kirja panna.

Teoreemi mitteformaalne sõnastus

Noetheri teoreemi võib sõnastada järgnevalt:

„Igale süsteemi pidevale sümmeetriale vastab jääv suurus.“

Teoreemi tõestuses kasutatakse vähima mõju printsiipi. Sisuliselt võetakse mingi teisendus, arvutatakse lagranžiaani muutus selle teisenduse mõjul ja kasutades süsteemi liikumisvõrrandeid, on võimalik avaldada suurus, mille täisdivergents on null (kasutusel väljateoorias) või mille ajaline tuletis on null (kasutusel analüütilises mehaanikas). Mitmedimensionaalse juhu korral kutsutakse tänapäeva terminoloogias jäävat suurust Noetheri laenguks ja laengut kannab Noetheri vool. See on analoogne näiteks elektrilaengu jäävusega, laengu muutust mingis punktis peab põhjustama vool, mis kannab laengut ümbritsevatesse punktidesse.

Ajalugu

Mingi suuruse jäävus tähendab, et ta ei muutu ajas:

${\frac {dX}{dt}}=0~.$

Selliseid suurusi nimetatakse liikumisintegraalideks. Näiteks kui energia on jääv, siis energia ei muutu ajas ehk tema tuletis aja järgi on null. Esimesteks täheldatud liikumisintegraalideks olid energia ja impulss, mida täheldasid 17. sajandil René Descartes ja Gottfried Leibniz, uurides kehade kokkupõrkeid ja seda, kuidas kiirused ja kehade liikumissuunad põrgetel muutusid. Isaac Newton pani esimest korda impulsijäävuse kirja sellisel kujul, nagu me seda tänapäeval tunneme.

Liikumisintegraalide teoorias oluline lagranžiaan võeti kasutusele analüütilise mehaanika arenguga 1788. aastal. Lagranžiaaniga seostub väga oluline vähima mõju printsiip. Üheks eeliseks tavapäraste Newtoni seadustega võrreldes on, et lagranžiaan võib olla kirja pandud suvaliste üldistatud koordinaatide abil ja vähima mõju printsiibi abil on võimalik leida nendele koordinaatidele vastavad liikumisvõrrandid. Mõjuks kutsutakse lagranžiaani integraali üle aja:

$I=\int L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt~.$

Vähima mõju printsiip (täpsemini öeldes statsionaarse mõju printsiip) väidab, et süsteemi areng on selline, mis hoiab lagranžiaani statsionaarsena infinitesimaalsete variatsioonide suhtes. Kasutades vähima mõju printsiipi, saadakse Euleri-Lagrange'i võrrandid:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}~.$

Kui lagranžiaan ei sõltu koordinaadist q, siis Euleri-Lagrange'i võrrandi järgi on liikumisintegraaliks järgnev avaldis:

$p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}.$

Kokkuvõttes saime jääva suuruse Euleri-Lagrange'i võrranditest, arvestades omadust, et lagranžiaan ei sõltunud selles näites koordinaadist q. Noetheri teoreemi põhimõte on analoogne, aga jääva suuruse avaldist on üldistatud, võrreldes eelnevaga.

Matemaatiline kirjeldus

Noetheri teoreem üldistab juhtu, kus lagranžiaan ei sõltu mingist koordinaadist. Oletame, et järgneval moel koordinaate muutes lagranžiaan ei muutu:

$t\rightarrow t^{\prime }=t+\delta t,$

$\mathbf {q} \rightarrow \mathbf {q} ^{\prime }=\mathbf {q} +\delta \mathbf {q} ~,$

kus δt ja δq on väikesed suurused. Üldisel juhul võib olla N sellist teisendust, mis kõik jätavad lagranžiaani samaks. Eri teisendused tähistame indeksiga r = 1, 2, 3, …, N.

Kõik väikesed koordinaatide teisendused saame kokku panna ja summaarseteks teisendusteks tulevad:

$\delta t=\sum _{r}\varepsilon _{r}T_{r}~,$

$\delta \mathbf {q} =\sum _{r}\varepsilon _{r}\mathbf {Q} _{r}~,$

kus ε_r on infinitesimaalsed suurused, mis näitavad, et tegemist on infinitesimaalse teisendusega, ja T_r ning Q_r on teisenduse generaatorid, mis kirjeldavad vastavalt aja- ja ruumikoordinaatide teisendust. Iga T_r ja Q_r kirjeldab ühte konkreetset teisendust, mida üksi rakendades kehtiks:

$\delta t=\varepsilon _{r}T_{r}\!$

$\delta \mathbf {q} =\varepsilon _{r}\mathbf {Q} _{r}~.$

Seda tähistust kasutades tõestas Noether, et järgnevad N suurust on jäävad ehk liikumisintegraalid:

$\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T_{r}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}.$

Näited

Aja nihe

Oletame, et lagranžiaan ei sõltu ajast. Koordinaatide teisenduseks on seega t → t + δt ja see on ainus teisendus, ehk N = 1, T_r = 1 ja Q_r = 0. Noetheri teoreemi järgi on jääv suurus:

$H={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L,$

kus H on süsteemi koguenergia.

Ruumi nihe

Kui lagranžiaan ei sõltu ruumikoordinaadist, siis ta on teisenduse q → q + δq all invariantne. Generaatorid on sellisel juhul T_r = 0 ja Q_r = 1. Noetheri teoreemi järgi on liikumisintegraaliks

$p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}},$

mida nimetatakse üldistatud impulsiks.

Pöörded

Impulsimomendi jäävuse saab tuletada lagranžiaani invariantsusest pöörete suhtes. Pöördele ümber telje n vastab koordinaatide teisendus

$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\delta \theta \,\mathbf {n} \times \mathbf {r} .$

Generaatoriks on $\mathbf {Q} =\mathbf {n} \times \mathbf {r}$ ja liikumisintegraaliks saame

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}=\mathbf {p} \cdot \left(\mathbf {n} \times \mathbf {r} \right)=\mathbf {n} \cdot \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)=\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} .$

See tähendab, et impulsimomendi komponent on jääv selle telje suhtes, mille ümber pöörates lagranžiaan on invariantne.

Kui n võib olla suvaline, siis impulsimomendi suvaline komponent on jääv ehk impulsimoment on üldiselt jääv.

Noetheri teoreem väljateoorias

Väljateoorias kasutatakse Noetheri teoreemi tihti neljas aegruumi dimensioonis jääva voolu leidmiseks, kuna suur osa füüsika teooriatest kirjeldavad maailma neljamõõtmelisena. Väljateooriates on lagranžiaanid tihti kasutusel ja järgnev Noetheri teooria versioon on küllalt levinud.

Väljateoorias on aegruumis defineeritud väljad $\phi$, millel on igas aegruumi punktis defineeritud mingi väärtus. Näiteks võib väljaks olla temperatuur $T(\mathbf {x} ,t)$, mis on igas ruumi punktis defineeritud igal ajahetkel.

Väljateoorias on mõjuks lagranžiaani tiheduse integraal üle aegruumi:

$I=\int {\mathcal {L}}\left(\phi ,\partial _{\mu }\phi ,x^{\mu }\right)\,d^{4}x$

Noetheri teoreemi tuletamiseks varieerime välju $\phi$:

$\phi \mapsto \phi +\epsilon \Psi$.

Vastavalt vähima mõju printsiibile peab mõju jääma statsionaarseks ehk võib muutuda ainult täisdivergentsi võrra, sest täisdivergentsi integreerides saame avaldise väärtused integreerimisradadel ehk lõpmatuses, mis on nullid, sest eelduste kohaselt variatsioon on lõplik. Seega välja varieerimise tõttu muutub lagranžiaan järgnevalt:

${\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\epsilon \partial _{\mu }\Lambda ^{\mu }$,

Välja variatsioone võib olla mitu ja üldjuhul võime kirjutada

$\phi \mapsto \phi +\epsilon _{r}\Psi _{r},$

millele vastab lagranžiaani muutus

${\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\epsilon _{r}\partial _{\mu }\Lambda _{r}^{\mu }.$

Sissetoodud tähistust kasutades on Noetheri teoreemi järgi jäävaks vooluks:

$j_{r}^{\nu }=\Lambda _{r}^{\nu }-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{,\nu }}}\cdot \Psi _{r}$

Voolu jäävus tähendab, et kehtib

$\partial _{\nu }j^{\nu }=0.$

Voolu esimene komponent $j^{0}$ tähistab laengut ja ruumilised komponendid $j^{i}$ tähistavad voolu, mis seda laengut kannavad.

Koordinaadi nihetest energia-impulsi tensori tuletamine

Illustreeriva näitena vaatame nihkeid väljateooria kontekstis. Koordinaatide teisenduseks võtame $x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\epsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }$. Suurused $\epsilon _{r}$ on nihkevektori komponendid. Kui nihutame koordinaate ühele poole ja hoiame välju paigal, või hoiame koordinaadistikku paigal ja liigutame välju teisele poole, saame väljade ja koordinaadistiku omavahelises suhtelises liikumises lõppkokkuvõttes sama tulemuse. Seega väljad teisenevad nagu $\phi (x^{\mu })\mapsto \phi (x^{\mu }-\epsilon _{r}\delta _{r}^{\mu })$. Kuna nihe on infinitesimaalne, siis väljendame muutuse Taylori reana kuni esimese järguni: $\phi (x^{\mu })\mapsto \phi (x^{\mu })-\epsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }\partial _{\mu }\phi (x^{\mu })$. Eelnevat tähistust kasutades:

$\Psi _{r}=-\delta _{r}^{\mu }\partial _{\mu }\phi .$

Samamoodi teiseneb lagranžiaani tihedus nagu ${\mathcal {L}}(x^{\mu })\mapsto {\mathcal {L}}(x^{\mu }-\epsilon _{r}\delta _{r}^{\mu })$ ja saame:

$\Lambda _{r}^{\mu }=-\delta _{r}^{\mu }{\mathcal {L}}.$

Tähistades Noetheri teoreemist tuleneva jääva suuruse $T_{r}{}^{\mu }$, saame:

$T_{r}{}^{\mu }=-\delta _{r}^{\mu }{\mathcal {L}}+\delta _{r}^{\sigma }\partial _{\sigma }\phi {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{,\mu }}}=\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{,\mu }}}\right)\cdot \phi _{,r}-\delta _{r}^{\mu }{\mathcal {L}}$

Suurus $T_{r}{}^{\mu }$ nimetatakse energia-impulsi tensoriks.

Laengu jäävus

Elektrilaengu jäävuse tuletamisel võetakse välja variatsioon võrdeliseks välja endaga. Kvantmehaanikas ei ole lainefunktsioon ise otseselt mõõdetav, vaid mõõdetavad on tõenäosused, mille annab lainefunktsiooni amplituudi ruut $|\psi |^{2}$. Kuna kompleksarvu amplituud ei sõltu faasist, siis võime valida sümmeetriateisenduseks faasiteisenduse:

$\psi \rightarrow e^{i\epsilon }\psi \ ,\ \ \psi ^{*}\rightarrow e^{-i\epsilon }\psi ^{*}~,$

Infinitesimaalsel kujul kehtib kuni esimese järguni:

$\psi \rightarrow \psi +i\epsilon \psi \ ,\ \ \psi ^{*}\rightarrow \psi ^{*}-i\epsilon \psi ~.$

Selle teisenduse abil saame Noetheri teoreemi järgi laengu jäävuse seaduse lagranžiaaniga teooriale. Näiteks Kleini-Gordoni lagranžiaani

$L=\psi _{,\nu }\psi _{,\mu }^{*}\eta ^{\nu \mu }+m^{2}\psi \psi ^{*}$

korral on jäävaks vooluks:

$j^{\nu }=i\left({\frac {\partial \psi }{\partial x^{\mu }}}\psi ^{*}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x^{\mu }}}\psi \right)\eta ^{\nu \mu }~.$

Kui korrutada voolu nullis komponent läbi vastava teooria laengu konstandiga, siis oleme saanud laengu avaldise lainefunktsiooni kaudu.

Kirjandus

• Goldstein, Herbert (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. Lk 588–596. ISBN 0-201-02918-9.
• Kosmann-Schwarzbach, Yvette (2010). The Noether theorems: Invariance and conservation laws in the twentieth century. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-87867-6. Online copy.
• Lanczos, C. (1970). The Variational Principles of Mechanics (4th ed.). New York: Dover Publications. Lk 401–5. ISBN 0-486-65067-7.
• Sardanashvily, G. (2016). Noether's Theorems. Applications in Mechanics and Field Theory. Springer-Verlag. ISBN 978-94-6239-171-0.