Laplace'i operaator

Laplace'i operaator on matemaatikas kaks korda diferentseeruvatele mitme muutuja funktsioonidele rakendatav diferentsiaaloperaator, mis on eukleidilises ruumis defineeritud kui funktsiooni gradiendi divergents.

Ristkoordinaatides avaldub Laplace'i operaator kujul

$\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{i}^{2}},$

kus $\nabla$ on nabla-operaator ja $\partial /\partial x_{i}$ tähistab osatuletise võtmise operaatorit muutuja $x_{i}$ järgi.

Laplace'i operaator on saanud nimetuse prantsuse matemaatiku Pierre-Simon de Laplace'i (1749–1827) järgi. Laplace kasutas antud operaatorit esmakordselt taevamehaanikas, kus ta gravitatsioonivälja potentsiaalile rakendatuna annab konstandi kordse massi tiheduse. Selle võrrandi Δf = 0 üldisemat kuju nimetatakse tänapäeval Laplace'i võrrandiks.

Laplace'i operaator eri koordinaadistikes

Kahemõõtmelises ruumis

Laplace'i operaatori rakendamine kahe muutuja funktsioonile f(x,y) annab ristkoordinaatides x ja y'

$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}$

Polaarkoordinaatides kehtib

$\Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}.$

Kolmemõõtmelises ruumis

Kolmes dimensioonis on Laplace'i operaatori kuju olulisemates koordinaadisüsteemides järgmine:

Ristkoordinaatides:

$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.$

Silindrilistes koordinaatides:

$\Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.$

Sfäärilistes koordinaatides:

$\Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}.$

($\theta \$ tähistab sfäärilist laiust ja $\phi$ sfäärilist pikkust).

Avaldise ${1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)$ võib asendada samaväärse avaldisega ${1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)$.

N dimensioonis

N-dimensionaalsetes sfäärilistes koordinaatides, mis on parametriseeritud kujul $x=r\theta \in {\mathbb {R} }^{N}$, kus $r\in [0,+\infty )$, $\theta \in S^{N-1}$, on Lapalace'i operaatoril kuju

$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f$

kus $\Delta _{S^{N-1}}$ on Laplace'i-Beltrami operaator $N-1$ dimensionaalsel sfääril ehk sfääriline Laplace'i operaator.

Avaldise ${\partial ^{2}f \over \partial r^{2}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}$ võib asendada samaväärse avaldisega ${\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}{\Bigr )}.$

Laplace'i operaator diferentsiaalvõrrandites

Laplace'i operaator esineb paljudes olulistes diferentsiaalvõrrandites. Neist mõned on:

Laplace'i võrrand:

$\Delta f=0\,,$

kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse harmoonilisteks funktsioonideks.

Biharmooniline võrrand:

$\Delta ^{2}f=0\,,$

kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse biharmoonilisteks funktsioonideks.

Poissoni võrrand:

$\Delta f=-g\,,$

kus g on teadaolev funktsioon.

Lainevõrrand:

$\Delta f={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,,$

kus $c$ on laine liikumise kiirus.

Difusioonivõrrand:

${\frac {\partial f}{\partial t}}=k\Delta f$

kus k on konstant.

Schrödingeri võrrand kvantmehaanikas:

$i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \phi +V\phi \,,$

kus $\phi$ on lainefunktsioon, $\hbar$on taandatud Plankci konstant, m on osakese mass ja $V$on potentsiaalne energia.

Vaata ka

• Nabla-operaator
• Pierre-Simon Laplace

Välislingid

• Wolfram MathWorld, Laplacian (inglise keeles)