Congruencia (teoría de números)

Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros $a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b$ tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural $m\,\neq \,0$ , llamado módulo; esto se expresa utilizando la notación:

a\equiv b{\pmod {m}}

que se expresa diciendo que: $a\,$ es congruente con $b\,$ módulo $m\,$ . De donde se define que dos números $a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b$ son congruentes en módulo $m\,\neq \,0$ «» (sí y solo si) :

$m\,$ divide exactamente a la diferencia de $a\,$ y $b\,$

m\mid a-b

o lo que es lo mismo, $a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b$ dejan el mismo resto en la división por $m\,$ . Además, también se puede afirmar que:

$a\,$ se puede escribir como la suma de $b\,$ y un múltiplo de $m\,$ , pues si: $m\mid a-b$ » (entonces), $mk=a-b$ , para algún $k\in \mathbb {Z} \quad (entonces)\ a=b+km$

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo $p\,$ y cada entero $a\,$ no divisible por $p\,$ tenemos la congruencia:

a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.

^[1]

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia $x^{2}-5\equiv 0{\pmod {11}}$ , tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por $x\equiv 4{\pmod {11}}$ y $x\equiv 7{\pmod {11}}$ , es decir $x\,$ puede ser cualquier entero de las sucesiones $11k+4\,$ y $11k+7\,$ . Contrariamente la congruencia $x^{2}-2\equiv 0{\pmod {11}}$ , no tiene solución.

La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

Propiedades

La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad matemática, por citar alguna:

La congruencia para un módulo $a\equiv b{\pmod {m}}$ entonces también $b\equiv a{\pmod {m}}$

transitividad: si $a\equiv b{\pmod {m}}$ y $b\equiv c{\pmod {m}}$ entonces también $a\equiv c{\pmod {m}}$ .

Si $a\,$ es coprimo con $m\,$ y $a\equiv b{\pmod {m}}$ , entonces $b\,$ también es coprimo con $m\,$ .

Si $a\equiv b{\pmod {m}}$ $a\equiv b{\pmod {m}}$ y $k\,$ $k\,$ es un entero entonces también se cumple
- $a\pm k\equiv b\pm k{\pmod {m}}$
- $ka\equiv kb{\pmod {m}}$
- $a^{k}\equiv b^{k}{\pmod {m}}\qquad k>0$