Elipsoido

3D bildiganta de elipsoido

En matematiko, elipsoido estas tipo de kvadrika, kio estas pli altdimensia analogo de elipso. La ekvacio de norma elipsoido en sistemo de karteziaj koordinatoj x, y, z estas

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$

kie a, b kaj c estas la radiusoj laŭ x-, y- respektive z- aksoj, kaj ĉiuj tri estas difinitaj pozitivaj reelaj nombroj, kiuj difinas la formo de la elipsoido. Se du de tiuj nombroj estas egala, la elipsoido estas sferoido, se ĉiuj tri estas egala, ĝi estas sfero.

Se ni prenas a ≥ b ≥ c, tiam kiam:

• a ≠ b ≠ c : ni havas skalenan elipsoidon
• c = 0 : ĝi estas elipso (dudimensia)
• a > b = c : la elipsoido estas longigita sferoido (cigaro-forma)
• c < = b : ĝi estas flaneca sferoido (disko-forma)
• a = b = c : ni havas sferon

Volumeno

La volumeno de elipsoido estas donita per:

${\frac {4}{3}}\pi abc$

Surfaca areo

La surfaca areo de elipsoido estas donita per:

$2\pi \left(c^{2}+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(\theta ,m)+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(\theta ,m)\right)$

kie

$m={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}}$

$\theta =\arcsin {\left(e\right)}$

$e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}$

kaj $F(\theta ,m)$ kaj $E(\theta ,m)$ estas la nekompletaj elipsaj integraloj de la unua kaj dua speco.

Akurataj formuloj estas:

Se ebena (c = 0): $=2\pi \left(ab\right)$

Se longigita: $=2\pi \left(c^{2}+ac{\frac {\arcsin {\left(e\right)}}{e}}\right)$

Se flaneca: $=2\pi \left(a^{2}+c^{2}{\frac {\operatorname {arctanh} {\left(e\right)}}{e}}\right)$

Aproksimita formulo estas:

Se skalena: $\approx 4\pi \left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{1/p}$

Kie p ≈ 1.6075 rendimenta relativa eraro de maksimume 1.061% (formulo de Knud Thomsen); valoro de p = 8/5 = 1.6 estas optima por preskaŭ sfera elipsoido, kun relativa eraro de maksimume 1.178% (formulo de Davido W. Cantrell).

Linearaj transformoj

Se ni aplikas inversigeblan linearan transformon al sfero, ni ricevas elipsoidon; ĝi povas esti transformata al la norma formo per taŭga turnado, konsekvenco el la spektra teoremo. Se la lineara transformo estas prezentita per simetria 3-per-3 matrico, tiam la ajgenvektoroj de la matrico estas perpendikulara (pro la spektra teoremo) kaj prezentas la direktojn de la aksoj de la elipsoido: la longoj de la duonaksoj estas donitaj per la ajgenoj.

La komunaĵo de elipsoido kun ebeno estas malplena, sola punkto aŭ elipso.

Oni povas ankaŭ difini elipsoidojn en pli altaj dimensioj, kiel la bildoj de sferoj sub inversigeblaj linearaj transformoj. Per spektra teoremo oni denove ricevas norman ekvacion simile al la supre donita.

Ova formo

Ovalo

La formo de birda ovo estas kvazaŭ kunmetita ĉe la ekvatoro el du duonelipsoidoj, unu proksimume sfera, la dua pli longigita. elipsoido, sed, dum ĝi konservas cilindran simetrion, ĝi ne havas simetrio en ebeno orta al la longa akso.

Vidu ankaŭ

• sferoido
• paraboloido
• hiperboloido
• referenca elipsoido