学術図書出版社『力学への道』６章「振動」 演習問題６ 力 f(x)=-kx+bx²（ただし k,b>0) を受けてⅹ軸上を運動する質点を、x=a で静かに放すとき、ab <<k ならば運動は周期的となることを示し、その周期Ｔとⅹとの時間平均 xバーの近似値を求めよ。 (解答) U(x)=kx²/2－bx³/3 x=k/b で Umax=k³/(6b²) エネルギー保存式は mv²/2+kx²/2－bx³/3＝E 初期条件 (x=a で v=0)より E=ka²/2－ba³/3 ∴Umax－E=(k－ab)²(k+2ab)/(6b²) (>0, k>>ab に対し)となるから、この初期条件では運動は周期的、 T=2π√(m/k)*{1+5a²b²/(12k²)} xバー = a²b/(2k) ここで質問です (1) U(x)=Umax ⇔ kx²/2－bx³/3=k³/(6b²) ⇔ x=k/b (2重根), －k/(2b) ここから U(x)のグラフから考えて －k/2b < a < k/b －k/2 < ab < k ab << k なら運動は周期的となる 私はこう考えたのですが、この考えは間違っているのでしょうか？ (2) mv²/2+kx²/2-bx³/3＝ka²/2‐ba³/3（=E) v=dx/dt (dx/dt)²＝(2/m)(bx³/3－kx²/2+ka²/2‐ba³/3) T=2√(ｍ/2)∫[‐k/(2b),k/b]dx/√(bx³/3－kx²/2+ka²/2‐ba³/3) この定積分を解くと T=2π√(m/k)*{1+5a²b²/(12k²)} となるようですが、途中式がわかりません (3) xバー=∫[t₁,t₂]x(t)dt/∫[t₁,t₂]dt ？？？ お分かりになる方、どうか解答・解説を宜しくお願い致します
物理学
