必要条件、十分条件、対偶 これらは 「PならばQ」という形式の「条件命題」で適用される概念です。 「PならばQ」という形の「条件命題」というのは、 PとQに命題ならば何を入れても良いです。 そもそも「命題」とは 「1+1=2（真）」「2025年1月7日の日本の首相は岸田文雄だ（偽）」など、 真または偽を付することのできる文です。 なので、 「1+1=2、ならば、2025年1月7日の日本の首相は岸田文雄だ」 なんていうのも、条件命題になります。 次に必要条件。 「xは犬である、ならば、xは哺乳類である」という命題があるとします。 結論から行くと、「xは哺乳類である」は「xは犬である」の必要条件である、 と言います。 （これは、PならばQ、のQについてみています） どういうことかというと、 タロウが少なくとも哺乳類であるとしましょう。 猫である、人間である、猪である、といった具体的なことはわかっていないとします。 するとQの「太郎は哺乳類である」はもちろん真。 しかし「太郎は哺乳類である」は「PならばQ」のPにあたる 「xは犬である」が成立するために【最低必要な条件】です。 こういった意味で、 PならばQのQは、Pの必要条件というわけです。 逆が十分条件。 Pの部分、つまり「太郎は犬である」が成り立っているとします。 すると、我々の常識からして「太郎は哺乳類である」ももちろん成り立ちますよね。 つまり、P「太郎は犬である」が成立するのなら、Q「太郎は哺乳類である」も成り立つのは当然だ。言い換えれば、P「太郎は犬である」が成り立つことは、Qが成り立つのにそれだけで十分な条件だ、ということです。 最後、対偶。 これも条件命題に適用されるものだと、冒頭で言いました。 非常にシンプルで、 「PならばQ」に対して、P,Qの位置を逆にし、さらにこれらP,Qを否定したものが「PならばQ」の対偶です。 すなわち 「Qでない、ならば、Pでない」です。 対偶は元の「PならばQ」と論理的同値です。 つまり同じことを言っているのです。 たとえば、 「xは犬である、ならば、xは哺乳類である」の対偶は 「xは哺乳類でない、ならば、xは犬でない」です。 十分条件、必要条件も、元の命題と同じ要領で定義可能です。 十分条件で言えば、「哺乳類でない」が成り立つのなら、 もちろん「犬でもない」。すなわち、「哺乳類でない」ことは 「犬でない」が成り立つのに十分な条件です。