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2025/1/6 22:46

22回答

√3-√2 が台数的無理数であることを証明してください。ただし、√6が無理数であることは証明なしで用いてよい。

√3-√2 が台数的無理数であることを証明してください。ただし、√6が無理数であることは証明なしで用いてよい。

高校数学 | 数学・27閲覧

ベストアンサー

kaz********

2025/1/6 23:51

x=√3-√2とおく ①x=√3-√2が無理数であることの証明 xが有理数であると仮定 x²=(√3-√2)² x²=3-2√6+2=5-2√6 √6=(5-x²)/2 右辺は有理数になるから√6が無理数であることに反する よって背理法よりx=√3-√2は無理数 ②x=√3-√2が代数的数であることの証明 x²=5-2√6より 2√6=5-x² 24=(5-x²)² 24=x⁴-10x²+25 x⁴-10x²+1=0 x=√3-√2は有理係数方程式x⁴-10x²+1=0の解になるから x=√3-√2は代数的数 ①②よりx=√3-√2は代数的無理数

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

ありがとう

お礼日時：1/7 18:20

その他の回答（1件）

た

2025/1/6 22:51

背理法を利用して考えます √3-√2が有理数であると仮定する…(*) このときrを有理数として√3-√2=rと書ける 両辺2乗して (√3-√2)²=r² 3-2√6+2=r² √6=(5-r²)/2 ここで条件より左辺√6は無理数 右辺(5-r²)/2はrが有理数であるから有理数 ゆえに（無理数）＝（有理数）となり矛盾 したがって仮定(*)は誤りで、√3-√2は無理数