Diskussion:Theil-Index

Hintergrundinformation zum Artikel

Den symmetrisierten Theil-Index (symmetrierte Theil-Redundanz) verwende ich als eigenständiges Ungleichverteilungsmaß seit 1995. Da das angesichts der geringen Zahl anderer Anwendungen Theoriefindung sein kann, erfolgt hier in der Wikipedia keine entsprechende Darstellung. Der Grund ist nicht nur Rücksichtnahme auf die Wikipedia; sondern wer „meine“ Ungleichheitsmaße verwendet, soll auch brav auf den Urheber Bezug nehmen und nicht auf die Wikipedia ;-)

Aber bei der Entwicklung diese Maßes ist mir seine Ähnlichkeit mit der Hoover-Ungleichverteilung aufgefallen. Der verbleibende Unterschied erklärt dann gut die Bedeutung des Theil-Index. Davon kann auch eine Enzyklopädie profitieren.

Von allen Ungleichverteilungsmaßen ist die Hoover-Ungleichverteilung das am wenigsten „bedeutungsbeladene“ Maß: Die Abweichungen in den Quantilen werden bei der Hoover-Ungleichverteilung nämlich nur mit ihrem eigenen Vorzeichen gewichtet. Die Hoover-Ungleichverteilung nimmt also keine Bezüge zur Physik oder zur Informationstheorie, die in den Sozialwissenschaften immer wieder zu Diskussionen führen. Möchte man die „Bedeutung“ anderer Ungleichverteilungsmaße verstehen, dann bietet es sich an, sie mit der Hoover-Ungleichverteilung zu vergleichen. Das kann manche Diskussion effizienter machen. Die Bildung des symmetrierten Theil-Index ermöglicht es, diesen Index sehr anschaulich mit der Hoover-Ungleichverteilung zu vergleichen.

Aus der Differenz der symmetrierten Theil-Redundanz und der Hoover-Ungleichverteilung ergibt sich übrigens ein sehr interessantes Ungleichverteilungsmaß, das nur noch ein Indikator für die Wahrnehmung von Ungleichverteilung ist. Es bewährt sich im Test mit den realen Daten der World Income Inequality Database (Klaus Deininger, Kihoon Lee, Lyn Squire; Mai 2007). Um aus der Theoriefindung zweifelsfrei herauszukommen, müsste es meiner Ansicht nach jedoch noch empirischen Tests unterworfen werden, wie sie in dem Buch von Yoram Amiel (Autor) und Frank A. Cowell beschrieben sind: Thinking about Inequality: Personal Judgment and Income Distributions, 2000. Darum gehe ich auch auf dieses Maß im Artikel nicht ein.

Das in der Bearbeitung dieses Artikel aus dem Web verwendete Material beschränkt sich nur auf diejenigen Teile meiner Website http://www.umverteilung.de, die vorhandenes Wissen darstellen. Die Quellen zu diesem Wissen sind in der Website und in den Artikeln zum Theil-Index und zur Hoover-Ungleichverteilung genannt. Besonders interessant ist hier die kleine Formelsammlung aus Inequality Measures in Mathematical Programming for the Air Traffic Flow Management Problem with En-Route Capacities (für IFORS 96) von Lionnel Maugis, der Ungleichverteilungen bei der Belegung von Flügen im Luftverkehr berechnete. Meine Formelsammlung im Web lehnt sich an Maugis' Formelsammlung an, die aber leider aus dem Web verschwunden ist. Über meine Website kann man noch ein Faximile davon finden.
DL5MDA 01:11, 26. Aug. 2007 (CEST)

Vergleich zwischen Gini-Index und Theil-Index

Weil wohl doch zu nahe TF, habe ich diesen Vergleich wieder herausgenommen, obwohl es der Pseudo-Gini-Index (blaue Punkte) so schön nahe am Gini-Index (Diegonale) liegt.
DL5MDA 01:08, 15. Okt. 2007 (CEST)
Jetzt habe ich die Berechnung des Theil-Index aus dem Ginikoeffizienten bei Berechnungen untergebracht. Für diese speziellen 2-Quantil-Gesellschaften gilt das exakt und ist noch nicht Theoriefindung. DL5MDA 21:54, 20. Okt. 2007 (CEST)

Wertebereich

Der Theil-Index hat bei Gleichverteilung einen Wert von 0 und nimmt in der Nähe einer dem „Pareto-Prinzip“ nahekommenden Verteilung von etwa 0,82:0,18 (bzw. 82%:18%) an. Ich habe zwar überhaupt keine Ahnung von der Materie, aber fehlt im zweiten Teilsatz nicht irgendetwas? Welchen Wert nimmt der Index an? --amodorrado 13:32, 24. Okt. 2007 (CEST)

Unveröffentliches Wissen

Alles in dem unten stehenden Absatz ist zwar interessant und man kann es aus Bekanntem ableiten, bisher hat das aber noch Keiner in einer Form veröffentlicht, die Peer-Reviews ausgesetzt ist. Habe darum den Beitrag aus http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Theil-Index&oldid=39069313 in die Diskussion verschoben. 212.202.159.233 21:16, 22. Nov. 2007 (CET)

Spezielle Zwei-Quantil-Gesellschaften

»Das Pareto-Prinzip (die Vermutung einer häufigen 80:20-Verteilung beispielsweise von Ressourcen zu Menschen) bezieht sich auf eine Gesellschaft, die in zwei Quantile aufgeteilt ist. Nur bei Gleichverteilung haben sie die gleiche Breite (50:50). Die Höhe des einen Quantils ist die Breite des anderen Quantils. Hier kann für jede A:B-Verteilung ein Theil-Index $T$ sehr einfach gefunden werden. Für solche in nur zwei Quantile aufgeteilte Gesellschaften, in denen beispielsweise ein Anteil von A Menschen einen Anteil von B am Gesamtvermögen besitzen und ein Anteil von B Menschen einen Anteil von A am Gesamtvermögen besitzen, lässt sich der Ginikoeffizent $G$ aus der the A:B-Verteilung berechnen:

$G=\left|2A-1\right|$

Dann gilt für den Theil-Index (mit A und B im Bereich von 0 bis 1 anstelle des Bereichs von of 0% to 100%):

$T=2\cdot G\cdot \mathrm {artanh} (G)$

Umgekehrt lässt sich der Gini-Koeffizient rekursiv aus dem Theil-Index berechnen.

• Anfangswerte:

$\displaystyle G_{0}=T$

$\displaystyle G_{1}=T$

• Dann wird die folgende Gleichung mit $n=2,3,4,5,...$ wiederholt ausgeführt:

$\displaystyle G_{n}=\mathrm {tanh} \left({\frac {T}{G_{n-1}+G_{n-2}}}\right)$

• Das braucht man aber nicht bis $G=G_{\infty }$ zu treiben, denn das Verfahren konvergiert gut. Die Wiederholung der Berechnung kann darum in der Praxis schon nach wenigen Schritten abgebrochen werden, wenn die für die Darstellung und Weiterverarbeitung des Ginikoeffizienten benötigte Genauigkeit erreicht wurde.
• Darstellung als A:B-Verteilung (z.B. zum Vergleich mit dem Pareto-Prinzip):

$\displaystyle A:B=\left({\frac {G+1}{2}}\right):\left({\frac {G-1}{2}}\right)$

Soll ein Ginikoeffizient in dieser Weise für eine Multi-Quantil-Gesellschaft (eine Gesellschaft mit mehr als nur zwei Quantilen) ermittelt werden, dann ist zunächst für diese Gesellschaft der symmetrisierte (s.u.) Theil-Index zu berechnen. Daraus wird dann rekursiv ein Ginikoeffizient berechnet. Dieser Koeffizient ist jedoch nicht der Gini-Koeffizient, wie er durch direkte Berechnung für diese Multi-Quantil-Gesellschaft berechnet würde, sondern dieser Ginikoeffizient ist ein sich als Entropiemaß verhaltender Pseudo-Gini-Koeffizient, der die Verteilung in einer Zwei-Quantil-Gesellschaft beschreibt, deren Verteilungsverhältnisse den gleichen symmetrisierten Theil-Index ergeben, wie die Multi-Quantil-Gesellschaft.

Entropiemaße für Ungleichverteilung aggregieren nicht nur Verteilungsdaten, sondern berücksichtigen als Informationsmaße auch den Umfang der Information, die eine Ungleichverteilung erzeugt. Hat zum Beispiel nur ein einziger Mensch in einer Gesellschaft überhaupt keine Ressourcen und würde also deswegen sterben, dann würde das (bei Bekanntwerden) in vielen zivilisierten Gesellschaften durchaus in den Nachrichten und Zeitungen gemeldet werden. Der Informationswert eines Einzelschicksals ist in solchen Gesellschaften also hoch. Der Theil Index würde hier sehr groß werden und der aus dem symmetrisierten Theil-Index berechnete Ginikoeffizient würde fast 100% anzeigen. Ein direkt berecheter Ginikoeffizient könnte das nicht anzeigen. Der hier über ein Entropiemaß rückgerechnete Ginikoeffizient funktioniert dagegen als Alarmsignal für existenziell gefährdete Minoritäten und kann darum in Gesellschaften eingesetzt werden, für deren Verteilungsethik (die Gesellschaft sichert das Existenzminimum des Einzelnen) ein solches Alarmsignal wichtig ist.«

Ich habe den rein nachrechenbaren Teil wieder in den Artikel gestellt. Spekulationen und Intrepretationen habe ich dabei nicht mit übernommen. DL5MDA 17:21, 31. Dez. 2007 (CET)

TF

Ich habe jetzt eine alte Version von Version von 2007-08-25T 19:05:48 genommen und auch die kräftig gekürzt. Zwei grundlegende Aussagen von mir sind zwar für Leser durch eigenes Nachprüfen nachvollziehbar, aber es gibt keine Sekundärliteratur dazu.

• Der Theil-Index ist keine Entropie, sondern eine Redundanz
• Symmetrierung (Mittelwert z.B. des Index für auf Personen verteilte Ressourcen und des Index für auf Ressourcen verteilte Personen.)

Ich hatte ja schon früher (s.o.) auf mögliche TF von mir hingewiesen. Nach dem jetzigen Stand von WP:TF sind die beiden Punkte aber wirklich TF. Ich werde in diesem Sinn auch noch in meinen anderen Artikeln zum Thema aufräumen. Das geht aber nicht an einem Tag. Ich bitte um Verständis. --DL5MDA 03:16, 24. Mai 2009 (CEST)

Armutsbericht der Bundesregierung

Laut dem Artikel wird in dem Bericht der Theil-Index verwendet. Tatsächlich?, ich konnte ihn dort zumindest im aktuellen bericht nicht finden. --85.176.166.175 02:33, 17. Dez. 2009 (CET)

Ich auch nicht, ich habe den Satz daher entfernt. --man (Diskussion) 22:45, 27. Sep. 2020 (CEST)

Überarbeiten

Der Artikel sah mal ganz anders aus und wurde nach und nach zusammengestrichen, das was da jetzt noch so steht ist ziemlich sinnlos und unvollständig.

Insbesondere stimmen alle möglichen Behauptungen nicht. Alles Einkommen bei einer Person ergibt nicht T = ln n. Das ist falsch. --Juliabackhausen 22:06, 4. Jan. 2012 (CET)

Dass T_T in dem Fall nicht ln n sein soll, kann ich nicht nachvollziehen. Wenn ich y_n = y und y_i<n = 0 setze, erhalte ich T_T = ln n. Ich verrechne mich zwar gerne mal, aber auch beim UTIP kann man lesen: „If one individual has all of the income, T will equal ln n; this represents utmost inequality and is the maximum value of Theil’s T statistic.“ [1] --man (Diskussion) 22:45, 27. Sep. 2020 (CEST)