Cyfres Fourier

Mewn mathemateg, mae cyfres Fourier yn ffordd o ddadansoddi ffwythiannau neu signalau cyfnodol i mewn i swm o sinau a chosinau.

Formiwla fourier ar gyfer ffwythiannau cyfnodol 2π

Ar gyfer ffwythiant cyfnodol ƒ(x) sy'n medru integru ar [−π, π], mae'r rhifau  :
$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)\,dx,\quad n\geq 0$

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)\,dx,\quad n\geq 1$
yn cael ei alw'n cyfernodau fourier o ƒ. Cyfwlynwyd symiau rhannol y cyfres fourier ar gyfer ƒ, dynodwyd gan:  :$(S_{N}f)(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\,[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)],\quad N\geq 0.$
Mae'r symiau rhannol ƒ yn bolynomialau trigonometrig.

Esiampl o gyfres fourier syml

Plot o ffwythiant cyfnodol

Y pump cyfres fourier rhannol cyntaf.

Defnyddiwn y fformiwla uchod i ddidwytho'r Cyfres Fourier. Ystyriwch ton dant llif:

$f(x)=x,\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,$ :$f(x+2\pi )=f(x),\quad \mathrm {for} -\infty <x<\infty .$
Yn yr achos yma rhoddir y cyfernodau gan:

${\begin{aligned}a_{0}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\,dx=0.\\a_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\b_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\sin(nx)\,dx=-{\frac {2}{n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi n^{2}}}\sin(n\pi )=2\,{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}$

Gellir profi bod y cyfres yn cydgyfeirio i f(x) at bob pwynt x lle mae f yn medru cael ei ddifferu, felly:

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\&=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbf {Z} .\end{aligned}}$

Pan mae x=π, mae'r cyfres Fourier yn cydgyfeirio i 0, sy'n hanner swm o'r terfyn chwith a dde o f ar x=π. Mae'r esiampl yma yn dangos theorem Dirichlet ar gyfres Fourier.

Eginyn erthygl sydd uchod am fathemateg. Gallwch helpu Wicipedia drwy ychwanegu ato