Doprovodná matice

Doprovodná matice je termín z lineární algebry. Pro daný monický polynom $p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}$ se tak nazývá čtvercová matice ve tvaru:

${\boldsymbol {D}}_{p}={\begin{pmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\end{pmatrix}}.$

Někteří autoři používají transpozici této matice, ${\boldsymbol {D}}_{p}^{\mathrm {T} }$, což je vhodnější např. pro lineární rekurence (viz níže).

Matice ${\boldsymbol {D}}_{p}$ je odvozena z koeficientů polynomu $p(x)$, zatímco charakteristický polynom stejně jako minimální polynom matice ${\boldsymbol {D}}_{p}$ jsou rovny $p(x)$.

Podobnost

K libovolné matici ${\boldsymbol {A}}$ s prvky z tělesa $T$ lze určit její charakteristický polynom $p(x)=\det(x\mathbf {I} -{\boldsymbol {A}})$a jemu přísluší doprovodná matice ${\boldsymbol {D}}_{p}$. Platí, že matice ${\boldsymbol {A}}$ je podobná ${\boldsymbol {D}}_{p}$, právě když se minimální polynom matice ${\boldsymbol {A}}$ shoduje s jejím charakteristickým polynomem $p(x)$, čili když minimální polynom má stupeň $n$.

Ne každá čtvercová matice je podobná doprovodné matici, ale každá čtvercová matice je podobná blokové diagonální matici vytvořené z doprovodných matic. Pokud je požadováno, aby charakteristický polynom každého diagonálního bloku dělil charakteristický polynom následujícího bloku, jsou tyto bloky jednoznačně určeny maticí ${\boldsymbol {A}}$.

Diagonalizovatelnost

Kořeny charakteristického polynomu $p(x)$ jsou vlastní čísla matice ${\boldsymbol {D}}_{p}$. Má-li matice ${\boldsymbol {D}}_{p}$ celkem $n$ různých vlastních čísel $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$, pak je matice ${\boldsymbol {D}}_{p}$ diagonalizovatelná. Zároveň platí ${\boldsymbol {D}}_{p}={\boldsymbol {V}}^{-1}{\boldsymbol {\Lambda }}{\boldsymbol {V}}$, kde ${\boldsymbol {\Lambda }}$ je diagonální matice a ${\boldsymbol {V}}$ je Vandermondova matice, obě odpovídající vlastním číslům $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$:

${\boldsymbol {\Lambda }}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&\lambda _{n}\end{pmatrix}}$, ${\boldsymbol {V}}={\begin{pmatrix}1&\lambda _{1}&\lambda _{1}^{2}&\cdots &\lambda _{1}^{n-1}\\1&\lambda _{2}&\lambda _{2}^{2}&\cdots &\lambda _{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\lambda _{n}&\lambda _{n}^{2}&\cdots &\lambda _{n}^{n-1}\end{pmatrix}}$.

Pro každé $\lambda _{i}$ je vektor ${\boldsymbol {v}}_{i}=(1,\lambda _{i},\ldots ,\lambda _{i}^{n-1})^{\mathrm {T} }$vlastním vektorem matice ${\boldsymbol {D}}_{p}^{\mathrm {T} }$, protože přímočarým výpočtem lze ověřit, že první rovnost soustavy ${\boldsymbol {D}}_{p}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {v}}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {v}}_{i}$ odpovídá ověření, že $\lambda _{i}$ je kořenem charakteristického polynomu:$p(\lambda _{i})=c_{0}+c_{1}\lambda _{i}+\cdots +c_{n-1}\lambda _{i}^{n-1}+\lambda _{i}^{n}=0$; a ostatní rovnosti soustavy jsou identity typu $\lambda _{i}^{k}=\lambda _{i}^{k}$. Matici ${\boldsymbol {D}}_{p}^{\mathrm {T} }$ lze proto diagonalizovat pomocí matice přechodu ${\boldsymbol {V}}^{\mathrm {T} }=({\boldsymbol {v}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {v}}_{n})$, neboli ${\boldsymbol {D}}_{p}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {V}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Lambda }}({\boldsymbol {V}}^{\mathrm {T} })^{-1}$, a transpozice obou stran vede na vztah ${\boldsymbol {D}}_{p}={\boldsymbol {V}}^{-1}{\boldsymbol {\Lambda }}{\boldsymbol {V}}$.

Vlastní vektory matice ${\boldsymbol {D}}_{p}$ splňující ${\boldsymbol {D}}_{p}{\boldsymbol {w}}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {w}}_{i}$ lze odvodit přímo z rovnice ${\boldsymbol {D}}_{p}={\boldsymbol {V}}^{-1}{\boldsymbol {\Lambda }}{\boldsymbol {V}}$ : jsou to sloupce matice inverzní k Vandermondově matici ${\boldsymbol {V}}^{-1}=({\boldsymbol {w}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {w}}_{n})$. Uvedené vlastní vektory lze popsat přímo, protože jsou složeny z koeficientů Lagrangeových polynomů, neboli ${\boldsymbol {w}}_{i}=(L_{0i},\ldots ,L_{(n-1)i})^{\mathrm {T} }$, kde:$L_{i}(x)=L_{0i}+L_{1i}x+\cdots +L_{(n-1)i}x^{n-1}=\prod _{j\neq i}{\frac {x-\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}={\frac {p(x)}{(x-\lambda _{i})\,p'(\lambda _{i})}}.$ Uvedené vlastní vektory vlastní vektory lze naškálovat na ${\tilde {\boldsymbol {w}}}_{i}=p'(\lambda _{i})\,{\boldsymbol {w}}_{i}$ a získat vektory s ještě jednodušším vyjádřením.

Pokud má charakteristický polynom $p(x)$ násobné kořeny, potom matice ${\boldsymbol {D}}_{p}$ není diagonalizovatelná. Přesněji řečeno, Jordanův normální tvar matice ${\boldsymbol {D}}_{p}$ obsahuje pro každý kořen $\lambda$ násobnosti $m$ jeden diagonální blok řádu $m$.

Použití

Rekurentní posloupnosti

Lineární rekurentní posloupnost daná vztahem $a_{k+n}=-c_{0}a_{k}-c_{1}a_{k+1}\cdots -c_{n-1}a_{k+n-1}$ pro $k\geq 0$ má charakteristický polynom $p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}$. Transpozice doprovodné matice ${\boldsymbol {D}}_{p}^{\mathrm {T} }$ určuje posloupnost vektorů:

${\begin{pmatrix}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n-1}\\a_{k+n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\cdots &-c_{n-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{k}\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+n-2}\\a_{k+n-1}\end{pmatrix}}$.

Mezi vlastní vektory této matice patří i $(1,\lambda ,\lambda ^{2},\ldots ,\lambda ^{n-1})^{\mathrm {T} }$, kde $\lambda$ je její libovolné vlastní číslo, neboli kořen charakteristického polynomu $p(x)$. Geometrická posloupnost $a_{k}=\lambda ^{k}$ je jednou z možných posloupností, jež vyhovuje rekurentnímu předpisu.

Má-li matice ${\boldsymbol {D}}_{p}$ celkem $n$ různých vlastních čísel $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$, potom lze $k$-tý prvek posloupnosti zapsat jako lineární kombinaci $a_{k}=\alpha _{1}\lambda _{1}^{k}+\cdots +\alpha _{n}\lambda _{n}^{k}$, přičemž koeficienty $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ závisí na prvních $n$ předepsaných prvcích dané posloupnosti $a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1}$. Vlastní čísla největší absolutní hodnoty pak poskytují asymptotický odhad.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Companion matrix na anglické Wikipedii.

Literatura

• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 

Portály: Matematika