Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Diferenční rovnice je rovnice pro neznámou posloupnost
(
a
n
)
n
=
1
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}
Máme-li danou posloupnost
(
a
n
)
n
=
1
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}
Δ
a
n
=
a
n
+
1
−
a
n
{\displaystyle \Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n}\,}
Druhá diference je diference první diference:
Δ
2
a
n
=
Δ
a
n
+
1
−
Δ
a
n
=
(
a
n
+
2
−
a
n
+
1
)
−
(
a
n
+
1
−
a
n
)
=
a
n
+
2
−
2
a
n
+
1
+
a
n
{\displaystyle \Delta ^{2}a_{n}=\Delta a_{n+1}-\Delta a_{n}=(a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_{n})=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}}
Obecně k-tou diferenci definujeme jako
Δ
k
a
n
=
Δ
(
Δ
k
−
1
a
n
)
=
Δ
k
−
1
a
n
+
1
−
Δ
k
−
1
a
n
{\displaystyle \Delta ^{k}a_{n}=\Delta (\Delta ^{k-1}a_{n})=\Delta ^{k-1}a_{n+1}-\Delta ^{k-1}a_{n}\,}
Lineární rekurentní rovnice lze jednoznačně převést na (tzv. přidružené) diferenční rovnice a naopak; někteří autoři používají tyto dva pojmy zaměnitelně. Například, diferenční rovnice
3
Δ
2
a
n
+
2
Δ
a
n
+
7
a
n
=
0
{\displaystyle 3\Delta ^{2}a_{n}+2\Delta a_{n}+7a_{n}=0\,}
je ekvivalentní přidružené rekurentní rovnici
3
a
n
+
2
−
4
a
n
+
1
+
8
a
n
=
0
{\displaystyle 3a_{n+2}-4a_{n+1}+8a_{n}=0\,}
