Nombre primer més gran

El nombre primer més gran conegut (A Octubre 2024^[update]) és 2^136,279,841 − 1, un número que té 41.024.320 dígits quan s’escriu a la base 10. Es va trobar a través d'un ordinador voluntari per Luke Durant de la Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) el 2024.^[1]

Un nombre primer és un nombre enter positiu, excloent 1, sense divisors altres que 1 i ell mateix. Euclides va registrar una prova que no hi existeix el nombre primer més gran, ja que els nombres primers són infinits.^[2]

Així doncs, matemàtics i aficionats continuen buscant grans nombres primers.

Molts dels primers més grans coneguts són els primers de Mersenne, nombres que són un menys que una potència de dos. A 2020^[update], els vuit primers més grans coneguts són els primers de Mersenne.^[3] Els últims disset primers registres van ser primers de Mersenne.^[4]^[5] La representació binària de qualsevol primer de Mersenne es compon de tots els 1, ja que la forma binària de 2 ^k - 1 és simplement k 1.^[6]

La implementació de la transformada ràpida de Fourier de la prova de primalitat de Lucas-Lehmer per als nombres de Mersenne és ràpida en comparació amb altres proves de primalitat conegudes per a altres tipus de nombres.

Registre actual

Aquest és el registre actual dels 8 nombres primers més grans trobats fins a la data.


Posició	Nombre primer	Trobat per	Data del descobriment	Nombre de dígits
1a	2^136.279.841 − 1	GIMPS	12 d'octubre de 2024^[7]	41 024 320
2a	2^82.589.933 − 1	GIMPS	7 de desembre de 2018^[8]	24 862 048
3a	2^77.232.917 − 1	GIMPS	26 de desembre de 2017^[8]	23 249 425
4a	2^74.207.281 − 1	GIMPS	7 de gener de 2016^[9]	22 338 618
5a	2^57.885.161 − 1	GIMPS	25 de gener de 2013^[10]^[11]	17 425 170
6a	2^43.112.609 − 1	GIMPS	23 de agost de 2008^[11]	12 978 189
7a	2^42.643.801 − 1	GIMPS	12 de abril de 2009^[12]	12 837 064
8a	2^37.156.667 − 1	GIMPS	6 de setembre de 2008^[12]	11 185 272

Premis

El Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) ofereix actualment un premi de descobriment de 3.000 dòlars EUA per als participants que descarreguen i executen el seu programari gratuït i l'ordinador dels quals trobe un nou primer Mersenne amb menys de 100 milions de dígits.

Hi ha diversos premis que ofereix la Electronic Frontier Foundation per a nous records.^[13] GIMPS també coordina els seus esforços de cerca de primers de 100 milions de dígits o més i dividirà el premi de 150.000 dòlars de la Electronic Frontier Foundation amb un participant guanyador.

El rècord va superar el milió de dígits el 1999, obtenint un premi de 50.000 dòlars dels EUA.^[14] El 2008, el rècord va superar els deu milions de dígits, obtenint un premi de 100.000 dòlars i un premi Cooperative Computing Award de la Electronic Frontier Foundation.^[13] Time el va anomenar el 29è invent principal del 2008.^[15] Tant els premis de 50.000 dòlars nord-americans com els 100.000 dòlars nord-americans van ser guanyats per la participació a GIMPS. S’ofereixen premis addicionals per al primer nombre primer que es troba amb almenys cent milions de dígits i el primer amb almenys mil milions de dígits.

Història dels nombres primers més grans coneguts

La taula següent mostra la progressió del nombre primer més gran conegut en ordre ascendent.^[4] Ací M_n = 2ⁿ − 1 és el nombre de Mersenne amb exponent n. El nombre que va tindre el rècord per més temps va ser M₁₉ = 524,287, que va ser el primer més gran conegut durant 144 anys. No es coneixen registres abans del 1456.

Nombre	Dígits	Any	Descobridor
M₁₃	4	1456	Anònim
M₁₇	6	1588	Pietro Cataldi
M₁₉	6	1588	Pietro Cataldi
${\tfrac {2^{32}+1}{641}}$	7	1732	Leonhard Euler? Euler no va publicar explícitament la primalitat de 6.700.417, però les tècniques que havia utilitzat per factoritzar 232 + 1 significaven que ja havia fet la major part del treball necessari per demostrar-ho, i alguns experts creuen que en sabia.^[16]
M₃₁	10	1772	Leonhard Euler
${\tfrac {2^{64}+1}{274177}}$	14	1855	Thomas Clausen
M₁₂₇	39	1876	Édouard Lucas
${\tfrac {2^{148}+1}{17}}$	44	1951	Aimé Ferrier amb una calculadora mecànica; el registre més gran no establert per ordinador.
180×(M₁₂₇)²+1	79	1951	J. C. P. Miller & D. J. Wheeler^[17] Amb l'ordinador EDSAC
M₅₂₁	157	1952
M₆₀₇	183	1952
M₁₂₇₉	386	1952
M₂₂₀₃	664	1952
M₂₂₈₁	687	1952
M₃₂₁₇	969	1957
M₄₄₂₃	1,332	1961
M₉₆₈₉	2,917	1963
M₉₉₄₁	2,993	1963
M₁₁₂₁₃	3,376	1963
M₁₉₉₃₇	6,002	1971	Bryant Tuckerman
M₂₁₇₀₁	6,533	1978	Laura A. Nickel and Landon Curt Noll^[18]
M₂₃₂₀₉	6,987	1979	Landon Curt Noll
M₄₄₄₉₇	13,395	1979	David Slowinski and Harry L. Nelson
M₈₆₂₄₃	25,962	1982	David Slowinski
M₁₃₂₀₄₉	39,751	1983	David Slowinski
M₂₁₆₀₉₁	65,050	1985	David Slowinski
391581×2²¹⁶¹⁹³−1	65,087	1989	A group, "Amdahl Six": John Brown, Landon Curt Noll, B. K. Parady, Gene Ward Smith, Joel F. Smith, Sergio E. Zarantonello.^[19]^[20] El nombre primer més gran no Mersenne que va ser el primer més gran conegut quan es va descobrir.
M₇₅₆₈₃₉	227,832	1992	David Slowinski and Paul Gage
M₈₅₉₄₃₃	258,716	1994	David Slowinski and Paul Gage
M_1257787	378,632	1996	David Slowinski and Paul Gage
M_1398269	420,921	1996	GIMPS, Joel Armengaud
M_2976221	895,932	1997	GIMPS, Gordon Spence
M_3021377	909,526	1998	GIMPS, Roland Clarkson
M_6972593	2,098,960	1999	GIMPS, Nayan Hajratwala
M_13466917	4,053,946	2001	GIMPS, Michael Cameron
M_20996011	6,320,430	2003	GIMPS, Michael Shafer
M_24036583	7,235,733	2004	GIMPS, Josh Findley
M_25964951	7,816,230	2005	GIMPS, Martin Nowak
M_30402457	9,152,052	2005	GIMPS, Curtis Cooper i Steven Boone professors de la Universitat Central de Missouri
M_32582657	9,808,358	2006	GIMPS, Curtis Cooper i Steven Boone
M_43112609	12,978,189	2008	GIMPS, Edson Smith
M_57885161	17,425,170	2013	GIMPS, Curtis Cooper
M_74207281	22,338,618	2016	GIMPS, Curtis Cooper
M_77232917	23,249,425	2017	GIMPS, Jonathan Pace
M_82589933	24,862,048	2018	GIMPS, Patrick Laroche
M_136279841	41.024.320	2024	GIMPS, Luke Durant

GIMPS va trobar els quinze últims registres (tots ells primers de Mersenne) en ordinadors normals operats per participants de tot el món.

Referències

↑ «GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^136,279,841-1». Mersenne Research, Inc., 21-10-2024. [Consulta: 21 octubre 2024].
↑ Euclides; Heath, Thomas L.; Densmore, Dana; Euclides. Euclid's Elements: all thirteen books complete in one volume (en anglès). Santa Fe, NM: Green Lion Press, 2002, p. 227. ISBN 978-1-888009-18-7.
↑ Caldwell, Chris. «The largest known primes - Database Search Output». Prime Pages. [Consulta: 3 juny 2018].
↑ ^4,0 ^4,1 Caldwell, Chris. «The Largest Known Prime by Year: A Brief History». Prime Pages. [Consulta: 20 gener 2016].
↑ The last non-Mersenne to be the largest known prime, was 391,581 ⋅ 2^216,193 − 1; see also The Largest Known Prime by Year: A Brief History by Caldwell.
↑ «Perfect Numbers». Penn State University. Arxivat de l'original el 3 d’agost 2020. [Consulta: 6 octubre 2019].
↑ «Mersenne Prime Discovery - 2^136279841-1 is Prime!». [Consulta: 21 octubre 2024].
↑ ^8,0 ^8,1 «[https://www.mersenne.org/primes/?press=M77232917 GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2 ^ 77,232,917-1]», 3 enero 2018. [Consulta: 6 enero 2018].
↑ «GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^74,207,281-1». mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. Arxivat de l'original el 7 de enero de 2018. [Consulta: 29 setembre 2017].
↑ «GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number, 257,885,161-1» (en inglés). Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS). [Consulta: 5 febrer 2013].
↑ ^11,0 ^11,1 Chris Caldwell, The largest known primes. Accesado el 14 de junio de 2009.
↑ ^12,0 ^12,1 Landon Curt Noll, .
↑ ^13,0 ^13,1 «Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize». Electronic Frontier Foundation. Electronic Frontier Foundation, 14-10-2009. [Consulta: 26 novembre 2011].
↑ Electronic Frontier Foundation, Big Prime Nets Big Prize.
↑ «Còpia arxivada». , 29-10-2008 [Consulta: 15 gener 2021]. Arxivat 22 August 2013^{[Date mismatch]} a Wayback Machine. «Còpia arxivada». Arxivat de l'original el 2008-11-02. [Consulta: 15 gener 2021].
↑ Edward Sandifer, C. How Euler Did Even More, 19 novembre 2014. ISBN 9780883855843.
↑ J. Miller, Large Prime Numbers. Nature 168, 838 (1951).
↑ Landon Curt Noll, Large Prime Number Found by SGI/Cray Supercomputer.
↑ Letters to the Editor. The American Mathematical Monthly 97, no. 3 (1990), p. 214. Accessed maig 22, 2020.
↑ Proof-code: Z, The Prime Pages.

[GIMPS-2024-1] «GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^136,279,841-1». Mersenne Research, Inc., 21-10-2024. [Consulta: 21 octubre 2024].

[2] Euclides; Heath, Thomas L.; Densmore, Dana; Euclides. Euclid's Elements: all thirteen books complete in one volume (en anglès). Santa Fe, NM: Green Lion Press, 2002, p. 227. ISBN 978-1-888009-18-7.

[3] Caldwell, Chris. «The largest known primes - Database Search Output». Prime Pages. [Consulta: 3 juny 2018].

[computerhistory-4] 4,0 ^4,1 Caldwell, Chris. «The Largest Known Prime by Year: A Brief History». Prime Pages. [Consulta: 20 gener 2016].

[5] The last non-Mersenne to be the largest known prime, was 391,581 ⋅ 2^216,193 − 1; see also The Largest Known Prime by Year: A Brief History by Caldwell.

[6] «Perfect Numbers». Penn State University. Arxivat de l'original el 3 d’agost 2020. [Consulta: 6 octubre 2019].

[7] «Mersenne Prime Discovery - 2^136279841-1 is Prime!». [Consulta: 21 octubre 2024].

[Sin_nombre-pFZ7-1-8] 8,0 ^8,1 «[https://www.mersenne.org/primes/?press=M77232917 GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2 ^ 77,232,917-1]», 3 enero 2018. [Consulta: 6 enero 2018].

[M742072812-9] «GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^74,207,281-1». mersenne.org. Great Internet Mersenne Prime Search. Arxivat de l'original el 7 de enero de 2018. [Consulta: 29 setembre 2017].

[gimps48-10] «GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number, 257,885,161-1» (en inglés). Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS). [Consulta: 5 febrer 2013].

[Caldwell-11] 11,0 ^11,1 Chris Caldwell, The largest known primes. Accesado el 14 de junio de 2009.

[MersenneDigitsAndNames-12] 12,0 ^12,1 Landon Curt Noll, .

[prizes-13] 13,0 ^13,1 «Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize». Electronic Frontier Foundation. Electronic Frontier Foundation, 14-10-2009. [Consulta: 26 novembre 2011].

[14] Electronic Frontier Foundation, Big Prime Nets Big Prize.

[invention-15] «Còpia arxivada». , 29-10-2008 [Consulta: 15 gener 2021]. Arxivat 22 August 2013^{[Date mismatch]} a Wayback Machine. «Còpia arxivada». Arxivat de l'original el 2008-11-02. [Consulta: 15 gener 2021].

[16] Edward Sandifer, C. How Euler Did Even More, 19 novembre 2014. ISBN 9780883855843.

[17] J. Miller, Large Prime Numbers. Nature 168, 838 (1951).

[isthe-18] Landon Curt Noll, Large Prime Number Found by SGI/Cray Supercomputer.

[19] Letters to the Editor. The American Mathematical Monthly 97, no. 3 (1990), p. 214. Accessed maig 22, 2020.

[20] Proof-code: Z, The Prime Pages.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]