Espai prehilbertià

Interpretació geomètrica de l'angle que formen dos vectors defenit usant el producte escalar.

Un espai prehilbertià o espai prehilbert és un espai vectorial proveït d'un producte escalar. Més concretament, és un parell $(V,\langle \cdot |\cdot \rangle )$, on $V\,$ és un espai vectorial sobre un cos $\mathbb {K}$ i $\langle \cdot |\cdot \rangle$ és un producte escalar en $V\,$.

L'espai prehilbertià és un tipus d'espai mètric amb la mètrica induïda per la norma que es pot definir a partir del producte escalar. Un espai prehilbertià que a més sigui un espai complet és un espai de Hilbert o hilbertià. Si és de dimensió finita i definit sobre el cos dels nombres reals, aleshores és un espai euclidià.

Una condició necessària perquè un espai prehilbertià sigui un espai de Hilbert és que el cos base $\mathbb {K}$ siguin els nombres reals $\mathbb {R}$ o els nombres complexos $\mathbb {C}$. Així, cap espai prehilbertià sobre els nombres racionals $\mathbb {Q}$ pot ser un espai de Hilbert.

Definició

Formalment, un espai prehilbertià és un espai vectorial V sobre un cos $\mathbb {K}$ (Pot ser $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$), el qual té una operació definida amb la següent funció:

$\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow \mathbf {K}$

anomenada producte escalar, que satisfà certs axiomes:

• Hermítica:

$\forall x,y\in V,\ \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}.$

Si K = R, la propietat de hermítica és la simetria ordinària:

$\langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle .$

Aquesta condició implica que $\langle x,x\rangle \in \mathbb {R}$ per a tot $x\in V$, perquè $\langle x,x\rangle ={\overline {\langle x,x\rangle }}$.

• Sesquilineal:

$\forall a\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle ax,y\rangle =a\langle x,y\rangle .$

$\forall x,y,z\in V,\ \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle .$

Combinant aquesta propietat amb la de ser hermítica:

$\forall b\in K,\ \forall x,y\in V,\ \langle x,by\rangle ={\overline {b}}\langle x,y\rangle .$

$\forall x,y,z\in V,\ \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle .$

En el cas que el cos sigui $\mathbb {R}$ aquesta propietat implica que el producte escalar és bilineal.

• Definida positiva:

$\forall x\in V,\ \langle x,x\rangle \geq 0.$ (Té sentit, ja que $\langle x,x\rangle \in \mathbb {R}$ per a tot $x\in V$.)

A més, l'únic vector que en fer el producte escalar amb ell mateix és zero, és el vector nul. Això s'expressa així:

$\langle x,x\rangle =0\;{\mbox{ si }}x=0.$

Normes en espais prehilbertians

En els espais amb producte escalar es defineix una norma

$\|X\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.$

La norma està ben definida, per ser sempre el producte escalar d'un vector per si mateix un nombre real més gran o igual que zero. A espais euclidians defineix la "longitud" del vector x. A més es tracta d'una norma per complir les condicions:

• $\|X\|$ és sempre positiva i val zero si i només si x val zero.

• Homogeneïtat: per a tot vector x i r un escalar:

$\|r\cdot x\|=|r|\cdot \|x\|.$

• Desigualtat triangular: per a tot vector x i y

$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$

Usant els axiomes ja esmentats es poden demostrar els següents teoremes:

• Desigualtat de Cauchy-Schwarz: per x i y elements de V

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|$

La igualtat es compleix si i només si x i i són linealment dependents

Aquesta és una de les més importants desigualtats en la matemàtica. També és coneguda en la literatura matemàtic russa com la desigualtat Cauchy-Bunyakowski-Schwarz

La prova d'aquest teorema i les seves aplicacions poden trobar al article sobre la desigualtat de Cauchy-Schwarz

• Llei del paral·lelogram:

$\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.$

• Teorema de Pitàgores: siguin x i y vectors ortogonals, aleshores

$\|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.$

Aquestes últimes dues identitats només requereixen expressar la definició de la norma en termes del producte intern, fer les operacions i usar els axiomes de norma.

Una generalització fàcil del teorema pitagòric que pot ser provada per inducció és la següent:

• Si x ₁ , ..., x _n són vectors ortogonals, o sigui, < x _j , x _k > = 0 per a tot j , k diferent, llavors

$\sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.$

Exemples

• Un exemple trivial són els nombres reals amb la multiplicació estàndard com a producte intern.

$\langle x,y\rangle :=xy$

• Més generalment, qualsevol espai euclidià Rⁿ amb el producte escalar és un espai amb producte intern.

$\langle (x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\rangle :=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}$

Es té la norma:

$\|X\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$

Bibliografia

• Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. 2a edició. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1997. ISBN 978-0-387-98258-8. 
• Emch, Gerard G.. Algebraic methods in statistical mechanics and quantum field theory. Wiley-Interscience, 1972. ISBN 978-0-471-23900-0. 
• Young, Nicholas. An introduction to Hilbert space. Cambridge University Press, 1988. ISBN 978-0-521-33717-5. 

Vegeu també

• Espai
• Espai de Hilbert
• Estructura lineal dual
• Producte vectorial

Enllaços externs

• Michiel Hazewinkel (ed.). Pre-Hilbert space. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.