內積空間

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

內積空間，內積之所也。夫內積者，關乎角也。凡二物所交之角，可由內積知之。

定義

內積空間者，可分複實。

實內積空間者，實矢量空間也，凡二物之間必有一數，曰內積（「[x,y]」）。凡內積者，必以下是從：

• 物與己之內積，非負也。唯零者，零也。（「$[x,x]\geq 0,[x,x]=0\Leftrightarrow x=0$」）
• 甲乙之內積，同乎乙甲之內積。（「$[x,y]=[y,x]$」）
• 甲乙和與丙之內積，同乎甲丙與乙丙內積之和矣（「$[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$」）。
• 實數乘甲與丙之內積，同乎實數乘甲丙之內積矣（「$[kx,z]=k[x,z]$」）。

複內積空間者，複矢量空間也，凡二物之間必有一數，曰內積（「[x,y]」）。凡內積者，必以下是從：

• 物與己之內積，非負也。零者，零也。（「$[x,x]\geq 0,[x,x]=0\Leftrightarrow x=0$」）
• 甲乙之內積，同乎乙甲內積之軛也。（「$[x,y]={\overline {[y,x]}}$」）
• 甲乙和與丙之內積，同乎甲丙與乙丙內積之和矣（「$[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$」）。
• 複數乘甲與丙之內積，同乎複數乘甲丙之內積矣（「$[kx,z]=k[x,z]$」）。

複內積空間者，必為實內積空間也。

物與己內積開方，範也（「$\|x\|={\sqrt {[x,x]}}$」）。故內積空間必範空間也。

二物之內積之實部，除以其範之積，求餘弦之逆，曰二物之夾角也（「$\theta =\cos ^{-1}\left({\frac {\Re ([x,y])}{\|x\|\|y\|}}\right)$」）。

例

• 歐基里得空間，高維實空間（「$\mathbb {R} ^{n}$」）也。取二物，合各部之積，曰點積（「$x\cdot y=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}$」）。
• 高維複空間（「$\mathbb {C} ^{n}$」），取二物，前者乘後者之軛，合之，曰點積（「$x\cdot y=x_{1}{\bar {y_{1}}}+\cdots +x_{n}{\bar {y_{n}}}$」）。
• 高維複空間，取點積之實部（「$[x,y]=Re(x\cdot y)$」），得一內積。此乃一實內積空間也。
• 實數多項式之集，取二物，其積在零至一區間之積分（「$[x(t),y(t)]=\int _{0}^{1}x(t)y(t)dt$」），內積也。