Eкстремум

Eкстремум (от латински: extremum – „краен“) в математиката е максималната или минималната стойност на функцията в дадено множество. Тази точка може да е бъде както локален екстремум, така и глобален екстремум.

Определение

Ако е дадена функцията $f\colon M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , за която $x_{0}\in M^{0}$ , тогава:

$x_{0}$ се нарича точка на локален максимум на функцията $f,$ ако съществува прекъсната част ${\dot {U}}(x_{0})$ такава, че
$\forall x\in {\dot {U}}(x_{0}):f(x)\leqslant f(x_{0})\;;$
$x_{0}$ се нарича точка на локален минимум на функцията $f,$ ако съществува прекъсната част ${\dot {U}}(x_{0})$ такава, че
$\forall x\in {\dot {U}}(x_{0}):f(x)\geqslant f(x_{0})\;.$

Определение за локален екстремум

Ако дефиниционното множество на една функция е интервал, обикновено той може да се раздели на подинтервали, във всеки от който функцията е растяща или намаляваща. Сега да разгледаме поведението на функцията в точка, разделяща два съседни интервала, в които тя от растяща става намаляваща и обратното. В първия подинтервал на снимката функцията намалява, в следващия расте и т.н. Точките, където функцията от растяща става намаляваща и обратното са екстремуми. В достатъчно малка околност на тези точки няма други стойности на функцията, които да са съответно по-малки (по-големи, в когато става въпрос за максимум, а не за минимум) от стойността на функцията в тази точка.

Локален минимум

Функцията $f(x)$ има локален минимум в точка $x=c$ от дефиниционната си област, когато може да се намери достатъчно малка околност $(c-\varepsilon ;c+\varepsilon )$ , с $\varepsilon >0$ от дефиниционната област на $f$ , в която няма стойноси на $f$ , по-малки от $f(c)$ , т.е. $f(x)\geqslant f(c)$ за $x$ принадлежащо на $(c-\varepsilon ;c+\varepsilon )$ , с $\varepsilon >0$ .

Локален максимум

Функцията $f(x)$ има локален максимум в точка $x=c$ от дефиниционната си област, когато може да се намери достатъчно малка околност $(c-\varepsilon ;c+\varepsilon )$ , с $\varepsilon >0$ от дефиниционната област на $f$ , в която няма стойности на $f$ , по-големи от $f(c)$ , т.е. $f(x)\leqslant f(c)$ за $x$ принадлежащо на $(c-\varepsilon ;c+\varepsilon )$ , с $\varepsilon >0$ .

Необходимо условие за локален екстремум

Ако функцията $f(x)$ има екстремум в дадена точка и е диференцируема в тази точка, първата ѝ производна в тази точка е равна на нула.

Достатъчно условие за локален екстремум

Ако функцията $f(x)$ е два пъти диференцируема в околност на точката $x=x_{0}$ , при което $f'(x_{0})=0$ , а $f''(x_{0})$ е различно от $0$ , като $f''(x)$ е непрекъсната в тази точка, функцията има екстремум в точката x = x₀ – минимум, когато $f''(x_{0})>0$ и максимум, когато $f''(x_{0})<0$ .

Източници

Учебник по математика за 12 клас, профилирана подготовка, издателство „Просвета“