Квазічасціца

Квазічасціца - паняцце ў квантавай механіцы, увядзенне якога дазваляе істотна спрасціць апісанне складаных квантавых сістэм з узаемадзеяннем, такіх як цвёрдыя целы і квантавыя вадкасці.

Напрыклад, надзвычай складанае апісанне руху электронаў у паўправадніках можа спрасціцца увядзеннем квазічасціцы, пад назвай электрон праводнасці, якая адрозніваецца ад электрона масай і што рухаецца ў вольнай прасторы. Для апісання ваганняў атамаў ў вузлах крышталічнай рашоткі ў тэорыі кандэнсаванага стану рэчывы выкарыстоўваюць фаноны, для апісання распаўсюджвання элементарных магнітных узбуджанасцяў ў сістэме спінаў - магноны.

Увядзенне

Ідэя выкарыстання квазічасціц была ўпершыню прапанавана Л. Д. Ландау ў тэорыі фермі-вадкасці для апісання вадкага гелія-3, пазней яе сталі выкарыстоўваць у тэорыі кандэнсаванага стану рэчывы. Апісваць стану такіх сістэм наўпрост, вырашаючы ураўненне Шродзінгера з парадку 10²³ узаемадзейнымі часціцамі, немагчыма. Абыйсці гэтую цяжкасць удаецца звядзеннем задачы ўзаемадзеяння часціц да больш простай задачы з неузаемадзеучымі квазічасціцамі.

Квазічасціцы ў фермі-вадкасці

Увядзенне квазічасціц для фермі-вадкасці вырабляецца плаўным пераходам ад узбуджанага стану ідэальнай сістэмы (без узаемадзеяння паміж часціцамі), атрыманага з асноўнага, з функцыяй размеркавання $n_{0}({\vec {p}})$, шляхам дадання часціцы з імпульсам ${\vec {p}}$, адыябатычным уключэннем ўзаемадзеяння паміж часціцамі. Пры такім ўключэнні ўзнікае узбуджаны стан рэальнай фермі-вадкасці з тым жа імпульсам, так як ён захоўваецца пры сутыкненні часціц. Па меры ўключэння ўзаемадзеяння, дабаўленая часціца залучае ў рух навакольных яе часціц, утвараючы абурэнне. Такое абурэнне называюць квазічасціцай. Атрыманы такім чынам стан сістэмы адпавядае рэальнаму асноўнаму стану плюс квазічасціца з імпульсам ${\vec {p}}$ і энергіяй, якая адпавядае дадзеным абурэнням. Пры такім пераходзе роля часціц газу (у выпадку адсутнасці ўзаемадзеяння) пераходзіць да элементарным ўзбуджэнням (квазічасціцам), колькасць якіх супадае з колькасцю часціц і якія, як і часціцы, падпарадкоўваюцца статыстыцы Фермі — Дзірака.

Квазічасціцы ў цвёрдых целах

Фанон як квазічасціца

Апісанне стану цвёрдых цел, непасрэдна вырашаючы ураўненне Шродзінгера для ўсіх часціц, практычна немагчыма з-за вялікага ліку зменных і складанасці ўліку ўзаемадзеяння паміж часціцамі. Спрасціць такое апісанне ўдаецца увядзеннем квазічасціц - элементарных узбуджанняў адносна нейкага асноўнага стану. Часта ўлік толькі ніжэйшых энергетычных узбуджанняў адносна гэтага стану дастатковы для апісання сістэмы, так як, згодна з размеркаваннем Больцмана, станы з вялікімі значэннямі энергій даюцца з меншай верагоднасцю. Разгледзім прыклад прымянення квазічасціц для апісання ваганняў атамаў ў вузлах крышталічнай рашоткі.

Прыкладам пажаднасці з нізкімі энергіямі можа служыць крышталічная рашотка пры абсалютным нулі тэмпературы, калі да асноўнага стану, пры якім ваганні ў рашотцы адсутнічаюць, дадаецца элементарнае абурэнне пэўнай частаты, фанон. Бывае, што стан сістэмы характарызуецца некалькімі элементарнымі ўзбуджэннямі, а гэтыя ўзбуджэнні, у сваю чаргу, могуць існаваць незалежна адзін ад аднаго, у такім выпадку гэты стан інтэрпрэтуецца сістэмай неузаемадзеуючых фанонаў. Аднак не заўсёды выходзіць апісаць стан неузаемадзеуючымі квазічасціцамі з-за ангарманічнага вагання ў крышталі. Тым не менш, у многіх выпадках элементарныя ўзбуджэнні могуць разглядацца як незалежныя. Такім чынам, можна набліжана лічыць, што энергія крышталя, звязаная з ваганнем атамаў ў вузлах рашоткі, роўная суме энергіі некаторага асноўнага стану і энергій усіх фанонаў.

Квантаванне ваганняў на прыкладзе фанонаў

Разгледзім скалярную мадэль крышталічнай рашоткі, згодна з якой атамы вагаюцца ўздоўж аднаго кірунку. Карыстаючыся базісам плоскіх хваляў, напішам выраз для зрушэнняў атамаў ў вузле:

$u_{n}(t)=\sum _{\vec {k}}Q_{\vec {k}}(t)\phi _{\vec {k}}({\vec {r}}_{n})$

$\phi _{\vec {k}}({\vec {r}}_{n})={\frac {1}{\sqrt {N}}}e^{i{\vec {k}}{\vec {r}}_{n}}$

У такой форме $Q_{\vec {k}}$ называюць абагульненымі каардынатамі. Тады лагранжыян сістэмы:

$L=\sum _{n}{\frac {m{\dot {u}}_{n}^{2}}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n,n^{'}}A({\vec {r}}_{n}-{\vec {r}}_{n^{'}})u_{n}u_{n^{'}}$

выкажацца ў тэрмінах $Q_{\vec {k}}$ у выглядзе:

$L={\frac {m}{2}}\sum {\vec {k}}({\dot {Q}}_{\vec {k}}^{*}{\dot {Q}}_{\vec {k}}-\omega _{\vec {k}}^{2}Q_{\vec {k}}^{*}Q_{\vec {k}})$

Адсюль выяўляецца кананічны імпульс і гамільтаныян:

$P_{\vec {k}}={\frac {\delta L}{\delta {\dot {Q}}_{\vec {k}}}}=m{\dot {Q}}_{\vec {k}}^{*}$

$H=\sum _{\vec {\vec {k}}}P_{\vec {k}}{\dot {Q}}_{\vec {k}}-L={\frac {1}{2m}}\sum _{\vec {k}}(P_{\vec {k}}P_{\vec {k}}^{*}+m^{2}\omega _{\vec {k}}^{2}Q_{\vec {k}}^{*}Q_{\vec {k}})$

Квантаванне дзеяння вырабляецца патрабаваннем аператарных правілаў камутацыі для абагульненай каардынаты і імпульсу ($\hbar =1$):

$[Q_{\vec {k}},P_{{\vec {k}}^{'}}]=i\delta _{{\vec {k}},{\vec {k}}^{'}}$

$[Q_{\vec {k}},Q_{{\vec {k}}^{'}}]=[P_{\vec {k}},P_{{\vec {k}}^{'}}]=0$

Для пераходу да фанонаў прадстаўленні выкарыстоўваюць мову другаснага квантавання, вызначыўшы аператары нараджэння $a_{\vec {k}}^{+}$ і знішчэння $a_{\vec {k}}$ квантавага фаноннага поля:

$[a_{\vec {k}},a_{{\vec {k}}^{'}}^{+}]=i\delta _{{\vec {k}},{\vec {k}}^{'}}\,\,\,\,\,\,\,[a_{\vec {k}},a_{{\vec {k}}^{'}}]=0$

Прамым вылічэннем можна праверыць, што патрабаваныя правілы камутацыі выконваюцца для аператараў:

$Q_{\vec {k}}={\frac {1}{\sqrt {2m\omega _{\vec {k}}}}}(a_{\vec {k}}^{+}e^{i\omega t}+a_{-{\vec {k}}}e^{-i\omega _{\vec {k}}t})$

$P_{\vec {k}}=i{\sqrt {\frac {\omega _{\vec {k}}m}{2}}}(a_{-{\vec {k}}}^{+}e^{i\omega t}-a_{\vec {k}}e^{-i\omega _{\vec {k}}t})$

Замяніўшы знак комплекснага спалучэння $Q_{\vec {k}}^{*}$ на $Q_{\vec {k}}^{+}$ і улічачы, што энергія - цотная функцыя квазіімпульсу, $\omega _{\vec {k}}=\omega _{-{\vec {k}}}$ (з аднастайнасці), атрымаем выразы для кінетычнай і патэнцыяльнай частак гамільтаныяна:

$K={\frac {1}{2m}}\sum _{\vec {k}}P_{\vec {k}}P_{-{\vec {k}}}=-{\frac {1}{4}}\sum _{\vec {k}}\omega _{\vec {k}}(a_{-{\vec {k}}}^{+}-a_{\vec {k}})(a_{\vec {k}}^{+}-a_{-{\vec {k}}})$

$H={\frac {m\omega _{\vec {k}}^{2}}{2}}\sum _{\vec {k}}Q_{\vec {k}}Q_{-{\vec {k}}}={\frac {1}{4}}\sum _{\vec {k}}\omega _{\vec {k}}(a_{-{\vec {k}}}^{+}-a_{\vec {k}})(a_{\vec {k}}^{+}-a_{-{\vec {k}}})$

Тады гамільтаныян прыме выгляд:

$H=\sum _{\vec {k}}\omega _{\vec {k}}(a_{\vec {k}}^{+}a_{\vec {k}}+{\frac {1}{2}})$

Інакш можна перапісаць:

$H=\sum _{\vec {k}}E_{\vec {k}}(n_{\vec {k}}+{\frac {1}{2}})$

Дзе

$n_{\vec {k}}=a_{\vec {k}}^{+}a_{\vec {k}}$ — аператар колькасці часціц, фанонаў,

$E_{\vec {k}}=\omega _{\vec {k}}$ — энергія фанонаў з імпульсам ${\vec {k}}$

Такое апісанне ваганняў ў крышталі называецца гарманічным набліжэннем. Яно адпавядае толькі разгляду квадратычных членаў па зрушэнням ў гамільтаныяне.

Квазічасціцы ў феромагнетыку, магноны

У выпадку ферамагнетыка, пры абсалютным нулі тэмпературы, усё спіны выстройваюцца ўздоўж аднаго кірунку. Такое размяшчэнне спінаў адпавядае асноўнаму стану. Калі адзін з спінаў адхіліць ад зададзенага кірунку і прадставіць сістэму самой сабе, пачне распаўсюджвацца хваля. Энергія гэтай хвалі будзе роўная энергіі ўзбуджэння крышталя, звязанай з змяненнем арыентацыі спіна атама. Гэтую энергію можна разглядаць як энергію некаторай часціцы, якую і называюць магнонам.

Калі энергія ферамагнетыка, звязаная з адхіленнем спінаў, невялікая, то яе можна прадставіць у выглядзе сумы энергій асобных спінавай хвалі або, кажучы інакш, у выглядзе сумы энергій магнонаў.

Магноны, як і фаноны, падпарадкоўваюцца статыстыцы Бозэ - Эйнштэйна.

Уласцівасці

• Квазічасціцы характарызуюцца вектарам ${\vec {p}}$, уласцівасці якога падобныя на імпульс, яго называюць квазіімпульсам.
• Энергія квазічасціцы, у адрозненне ад энергіі звычайнай часціцы, мае іншую залежнасць ад імпульсу.
• Квазічасціцы могуць узаемадзейнічаць паміж сабой, а таксама з звычайнымі часціцамі
• Могуць мець зарад і/або спін.
• Квазічасціцы з цэлым значэннем спіна падпарадкоўваюцца статыстыцы Бозэ - Эйнштэйна, з паўцелым - Фермі - Дзірака.

Параўнанне квазічасціц са звычайнымі часціцамі

Між квазічасціцамі і звычайнымі элементарнымі часціцамі існуе шэраг падабенстваў і адрозненняў. У многіх тэорыях поля (у прыватнасці, у канформнай тэорыі поля) не робяць наогул ніякіх адрозненняў паміж часціцамі і квазічасціцамі.

Падабенства

• Як і звычайная часціца, квазічасціца можа быць больш-менш лакалізаванай ў прасторы і захоўваць сваю лакалізаванасць ў працэсе руху.
• Квазічасціцы могуць сутыкацца і/або ўзаемадзейнічаць іншым чынам. Пры сутыкненні нізкаэнергетычных квазічасціц выконваюцца механічныя законы захавання квазіімпульсу і энергіі. Квазічасціцы могуць таксама ўзаемадзейнічаць і з звычайнымі часціцамі (напрыклад, з фатонамі).
• Для квазічастиц з квадратычным законам дысперсіі (гэта значыць энергія прапарцыйная квадрату імпульсу) можна ўвесці паняцце эфектыўнай масы. Паводзіны такой квазічасціцы будзе вельмі падобныя на паводзіны звычайных часціц.

Адрозненні

• У адрозненне ад звычайных часціц, якія існуюць самі па сабе, у тым ліку і ў пустым прасторы, квазічасціцы не могуць існаваць па-за асяроддзя, ваганнямі якой яны і з'яўляюцца.
• Пры сутыкненнях, для многіх квазічасціц закон захавання квазіімпульса выконваецца з дакладнасцю да вектара зваротнай рашоткі.
• Закон дысперсіі звычайных часціц - гэта дадзенасць, якую ніяк не змяніць. Закон дысперсіі квазічасціц ўзнікае дынамічна, і таму можа мець самы мудрагелісты выгляд.
• Квазічасціцы могуць мець дробны электрычны зарад або магнітны зарад.

Іншыя квазічасціцы

• Электрон праводнасці - мае той жа зарад і спін, як у «нармальнага» электрона, але адрозніваецца масай.
• Дзірка - незапоўненая валентная сувязь, якая праяўляе сябе як дадатны зарад, па абсалютнай велічыні роўны зараду электрона.
• Ратон - калектыўнае ўзбуджэнне, звязанае з віхравым рухам у вадкасці.
• Палярон - квазічасціца, адпаведная палярызацыі, звязанай з рухам электрона, абумоўленай узаемадзеяннем электрона з крышталічнай рашоткай.
• Плазмон - прадстаўляе сабой калектыўнае ваганне электронаў у плазме.