福島電力からauでんきに乗り換えたくてauショップの窓口に言ったら、お客様番号が10桁では足りませんと言われ、契約が出来ませんでした。中部電力エリアだと、普通13桁かそれ以上ですと。

2016年の電力自由化以降、各自宅に「供給地点特定番号」(発電設備には「受電地点特定番号」) という全国一律の番号 (22けた) が付与されています。
この「供給地点特定番号」(「受電地点特定番号」) と身分が証明できるものをもっていけば、電力会社の切り替えは全国どの電力会社でもスムーズにおこなえるとおもいます。
「お客さま番号」とはことなる番号ですのでご注意ください。(「お客さま番号」は電力会社により割り振られた番号なのでけた数もばらばらです)

「供給地点特定番号」(「受電地点特定番号」) は、電力会社の「電気ご使用量のお知らせ」に記載されています (ただし「地点番号」のように略されている場合もあります) ので、「電気ご使用量のお知らせ」をもらったら、記載されている内容をさがしていただき (それが面倒ならそのままもっていってもOK)、つぎの月の用紙がとどくまでは破棄しないようにしましょう。
ただし、「電気ご使用量のお知らせ」を電子化している場合はこのかぎりではありませんので、その場合は「供給地点特定番号」の確認方法をご契約の電力会社に確認してください。

なお、福島電力の終了については、福島電力専用のホットラインを開設している会社があります。よくわからないことがあれば、相談してみるのもよいでしょう。
※0800からはじまる番号はフリーダイヤルです (KDDIのサポートサイトより) 。
そのため、通話料金は発生しないので、ご安心ください。