2変数の独立変数x,yに関する関数uについて汎関数

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shinmu

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2変数の独立変数x,yに関する関数uについて汎関数

I[u(x,y)]=∫F(x,y,u,∂u/∂x,∂u/∂y)dA
を停留化する条件を教えてください

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登録：2008/02/05 13:34:40
終了：2008/02/06 23:19:13

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ita 2008/02/06 09:20:06

しまったグリーンの定理は「ネットデーキ＝木間下の定理」の間違い。

JGeek Log - 何を作ろうか 2008-03-15 12:56:18

何を作ろうか前に作ったデフォルメB2はまだ満足がいかないので公開するレベルじゃない。今試しに1/144のリアル版を設計しかけてるけど、全幅４０ｃｍ程度なのに操縦席あたりの高さが1.2

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ita · Answer 1 · 2008-02-06T09:15:39+09:00

I[u(x,y)]=∫F(x,y,u,∂u/∂x,∂u/∂y)dA

u(x,y)が各点でδu(x,y)だけ変化した場合の増分を考えると、

$\delta I = \int_A \delta F dA$

$\partial u/\partial x=u_x$ などと書き、 $\partial F/\partial u_x=F_{ux}$ などと書くと、

$\delta F= F_u \delta u + F_{ux} \delta u_x + F_{uy} \delta u_y$

後ろ二つを部分積分でδuの積分に変換。ベクトル場 $\vec{V}=(F_{ux}, F_{uy})$ と定義すると

$\delta I = \int_A F_u \delta u + \vec{V}\cdot \nabla (\delta u)$

グリーンの定理から

$\int_A \vec{V}\cdot \nabla (\delta u)=\int_S \vec{V}\cdot d\vec{S} \delta u -\int_A (\nabla \cdot \vec{V})\delta u$ ここでSは積分範囲Aの境界でdSは境界での微小法線ベクトル。境界でuが固定されているならここでδu=0なので前者は0。

したがって $\delta I = \int_A \delta u (F_u -\nabla \cdot \vec{V}) dA$ 。δuの係数が各点で０が停留条件。書き出すと

$\partial F/\partial u - \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial (\partial u /\partial x)} - \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial F}{\partial (\partial u /\partial y)}=0$

2変数の独立変数x,yに関する関数uについて汎関数

回答（1件）

ita204482008/02/06 09:15:39

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