쌍둥이 소수 상수

쌍둥이 소수 상수(영어: Twin prime constant) $C_{2}$ 또는 $\Pi _{2}$ 는 하디-리틀우드(Hardy-Littlewood)추측으로부터의 쌍둥이 소수 추측의 일반화이다.

이것은 소수 정리(prime number theorem)와 유사하게 쌍둥이 소수(twin primes)를 포함하는 소수 자리의 분포에 대한 수학 상수이다.^[1]^[2]

\Pi _{2}=C_{2}=\prod _{\textstyle {p\;{\rm {prime}} \atop p\geq 3}}\left(1-{{1} \over {(p-1)^{2}}}\right)=0.660161815\ldots \;\;

(OEIS의 수열 A005597)

지수 함수 표현

C_{2}=\prod _{p>2}^{p=prime}\left(1-{{1} \over {(p-1)^{2}}}\right)

\;\;\;=\prod _{p>2}^{p=prime}\left({{p^{2}-2p} \over {(p-1)^{2}}}\right)

\;\;\;=exp\left(\sum _{p>2}^{prime=p}ln\left({{p^{2}-2p} \over {(p-1)^{2}}}\right)\right)

\;\;\;=exp\left(\sum _{p>2}^{prime=p}ln\left({{p(p-2)} \over {(p-1)^{2}}}\right)\right)

\;\;\;=exp\left(\sum _{p>2}^{prime=p}ln\left({{p^{2}(p-2)} \over {p(p-1)^{2}}}\right)\right)

\;\;\;=exp\left(\sum _{p>2}^{prime=p}ln\left({{{p-2} \over {p}} \over {{(p-1)^{2}} \over {(p)^{2}}}}\right)\right)

\;\;\;=exp\left(\sum _{p>2}^{prime=p}ln\left({\left({{p-2} \over {p}}\right) \over {\left({{p-1} \over {p}}\right)^{2}}}\right)\right)

\;\;\;=exp\left(\sum _{p>2}^{prime=p}ln\left({1-{{2} \over {p}} \over {\left(1-{{1} \over {p}}\right)^{2}}}\right)\right)

\;\;\;=exp\left(\sum _{p>2}^{prime=p}\left(ln\left(1-{{2} \over {p}}\right)-2ln\left(1-{{1} \over {p}}\right)\right)\right)

알폰스 드 폴리냑(Alphonse de Polignac)의 폴리냑 추측(Polignac's conjecture)도 쌍둥이 소수에대한 정리에 대해 별도로 기여하였다.

등차수열과오일러 피 함수에서의 엘리엇-할버스탐 추측(Peter D. T. A. Elliott and Heini Halberstam conjecture)도 쌍둥이 소수에대한 정리에 기여하였다.

v t e 수학 상수
정수	-1 0 1 2 3
허수	i ( $i$ )
초월수	π e ( $e$ )
무리수	아페리 상수 에르되시-보어와인 상수 √2 φ
기타	드 브루인-뉴먼 상수 라마누잔-솔드너 상수 르장드르 상수 마이셀-메르텐스 상수 비슈바나트 상수 브룬 상수 쌍둥이 소수 상수 오일러-마스케로니 상수 엠브리-트레페텐 상수 카탈랑 상수 파이겐바움 상수